Explicação para graus de liberdade não inteiros no teste t com variações desiguais

O procedimento do teste t SPSS relata 2 análises ao comparar duas médias independentes, uma análise com variâncias iguais assumidas e outra com variâncias iguais não assumidas. Os graus de liberdade (df) quando pressões iguais são assumidas são sempre valores inteiros (e iguais n-2). O df quando variações diferentes não são assumidas não é um número inteiro (por exemplo, 11.467) e nem chega perto de n-2. Estou procurando uma explicação da lógica e do método usado para calcular esses df não inteiros.

Pode-se mostrar que o Welch-Satterthwaite df é uma média harmônica ponderada em escala dos dois graus de liberdade, com pesos na proporção dos desvios padrão correspondentes.

A expressão original diz:

$$\nu_{_W} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\nu_1}+\frac{s_2^4}{n_2^2\nu_2}}$$

Note-se que é a variância estimada do i th da amostra média ou o quadrado da i -ésima erro padrão da média . Seja r = r 1 / r 2 (a razão entre as variações estimadas da amostra significa), então$r_i=s_i^2/n_i$$i^\text{th}$$i$$r=r_1/r_2$

$$\begin{align} \nu_{_W} &= \frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{r_1^2+r_2^2}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r+1\right)^2}{r^2+1}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \end{align}$$

O primeiro fator é , que aumenta de 1 em r = 0 a 2 em r = 1 e depois diminui para 1 em r = ∞ ; é simétrico no log r .$1+\text{sech}(\log(r))$$1$$r=0$$2$$r=1$$1$$r=\infty$$\log r$

O segundo fator é uma média harmônica ponderada :

$$H(\underline{x})=\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}\,.$$

do df, onde são os pesos relativos aos dois df$w_i=r_i^2$

Ou seja, quando é muito grande, converge para ν 1 . Quando r 1 / r 2 está muito próximo de 0 , converge para ν 2 . Quando R 1 = r 2 -lhe obter duas vezes a média harmónica do df, e quando s 2 1 = s 2 2 -lhe obter a igualdade de variância-df t-teste usual, que é também o valor máximo possível para ν W .$r_1/r_2$$\nu_1$$r_1/r_2$$0$$\nu_2$$r_1=r_2$$s_1^2=s_2^2$$\nu_{_W}$

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Com um teste t de variância igual, se as premissas se mantiverem, o quadrado do denominador é uma constante vezes uma variável aleatória qui-quadrado.

O quadrado do denominador do teste t de Welch não é (um tempo constante) um qui-quadrado; no entanto, muitas vezes não é uma aproximação muito ruim. Uma discussão relevante pode ser encontrada aqui .

Uma derivação mais no estilo de livro didático pode ser encontrada aqui .

O que você está se referindo é a correção de Welch-Satterthwaite nos graus de liberdade. O teste quando a correção WS é aplicada é frequentemente chamado de teste t de Welch . (Aliás, isso não tem nada a ver com SPSS, todo o software de estatística será capaz de conduzir de Welch $t$$t$$t$$t$$t$$s^2_1/n_1$$s_2^2/n_2$$t$