O artigo The Odds, Continued Updated menciona a história de um pescador de Long Island que literalmente deve sua vida às estatísticas Bayesianas. Aqui está a versão curta:
Há dois pescadores em um barco no meio da noite. Enquanto um está dormindo, o outro cai no oceano. O barco continua a andar no piloto automático durante toda a noite até o primeiro cara finalmente acordar e notificar a Guarda Costeira. A Guarda Costeira usa um software chamado SAROPS (Sistema de Planejamento Ótimo de Busca e Resgate) para encontrá-lo bem a tempo, pois estava hipotérmico e sem energia para se manter à tona.
Aqui está a versão longa: Um pontinho no mar
Eu queria saber mais sobre como o teorema de Bayes é realmente aplicado aqui. Eu descobri um pouco sobre o software SAROPS apenas pesquisando no Google.
O simulador SAROPS
O componente do simulador leva em consideração dados oportunos, como corrente oceânica, vento, etc. e simula milhares de possíveis caminhos de deriva. A partir desses caminhos de deriva, um mapa de distribuição de probabilidade é criado.
Observe que os gráficos a seguir não se referem ao caso do pescador desaparecido que mencionei acima, mas são um exemplo de brinquedo retirado desta apresentação
Mapa de Probabilidades 1 (Vermelho indica a maior probabilidade; azul, a menor)
Observe o círculo que é o local inicial.
Mapa de Probabilidades 2 - Mais tempo se passou
Observe que o mapa de probabilidade se tornou multimodal. Isso ocorre porque neste exemplo, vários cenários são contabilizados:
- A pessoa está flutuando na água - modo meio-alto
- A pessoa está em uma balsa salva-vidas (mais afetada pelo vento vindo do norte) - dois modos inferiores (divididos por causa dos "efeitos de escoriações")
Mapa de probabilidades 3 - A pesquisa foi conduzida pelos caminhos retangulares em vermelho Esta imagem mostra os caminhos ideais produzidos pelo planejador (outro componente do SAROPS). Como você pode ver, esses caminhos foram pesquisados e o mapa de probabilidades foi atualizado pelo simulador.
Efeitos de uma pesquisa malsucedida
É aqui que entra o Teorema de Bayes. Depois que uma pesquisa é realizada, o mapa de probabilidades é atualizado de acordo para que outra pesquisa possa ser planejada da melhor maneira possível.
Depois de revisar o Teorema de Bayes na wikipedia e no artigo Uma explicação intuitiva (e curta) do Teorema de Bayes em BetterExplained.com
Peguei a equação de Bayes:
E definiu A e X da seguinte maneira ...
Evento A: A pessoa está nesta área (célula da grade)
Teste X: pesquisa malsucedida nessa área (célula da grade), ou seja, pesquisou nessa área e não viu nada
Produzindo,
Então agora nós temos,
A equação de Bayes é aplicada corretamente aqui?
Como seria calculado o denominador, a probabilidade de uma pesquisa malsucedida?
Também no Search and Rescue Optimal Planning System , eles dizem
As probabilidades anteriores são "normalizadas da maneira bayesiana usual" para produzir as probabilidades posteriores
O que significa "normalizado da maneira bayesiana normal" ?
Mais uma nota de simplificação - de acordo com o Sistema de Planejamento Ideal de Busca e Salvamento, a distribuição posterior é realmente calculada atualizando as probabilidades dos caminhos de desvio simulados e, em seguida, gerando novamente o mapa de probabilidades com grade. Para manter esse exemplo simples, escolhi ignorar os caminhos do sim e focar nas células da grade.
Fui apontado para um livro que tem um capítulo inteiro dedicado à minha pergunta - Análise de Operações Navais - por um ex-professor que costumava ser piloto de helicóptero e, na verdade, realizou missões de busca e resgate!
No capítulo 8, é fornecido um exemplo semelhante a este (eu o personalizei um pouco):
Para começar, há uma distribuição prévia em grade para a localização da (s) pessoa (s) desaparecida (s), barco etc.
Distribuição prévia:
Uma pesquisa é realizada em parte da grade e as probabilidades são atualizadas com uma distribuição posterior normalizada , aplicando a equação de Bayes da mesma maneira que mencionei nas minhas perguntas:
onde (i, j) = (lat, long)
Nesse caso, decidi pesquisar a coluna 3 porque essa coluna tinha a maior probabilidade total anterior .
Distribuição posterior normalizada após pesquisa na terceira coluna com pFail = 0,2:
Minha pergunta era principalmente sobre como a posterior foi normalizada. Eis como foi feito no livro - simplesmente divida cada probabilidade posterior individual pela soma total , S :
Escolhi uma probabilidade de 0,2 de uma pesquisa com falha porque meu professor tinha a dizer: "Nós pesquisamos apenas 80% de probabilidade de detecção, porque essa é geralmente a melhor alternativa entre timlieness e precisão".
Apenas para chutes, executei outro exemplo com um pFail de 0,5. Enquanto no primeiro exemplo ( pFail = 0,2), a próxima melhor rota de pesquisa (considerando as pesquisas posteriores normalizadas e assumindo linhas retas, sem diagonal ou zig-zag) seria sobrevoar a coluna 2, no segundo exemplo ( pFail = 0.5) a melhor rota seguinte é sobre a linha 2.
Distribuição posterior normalizada após pesquisa na terceira coluna com pFail = 0,5:
Ele também acrescentou: "A aeronave carrega uma pequena lista de verificação com eles para ajudar a determinar a melhor altitude e velocidade do ar. Trabalhar isso em um helicóptero voador é como sentar em cima de uma máquina de lavar roupa, lendo um livro colado em uma máquina de lavar roupa diferente".
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