Qual é a média e a variação da distribuição gama?

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Existem duas formas para a distribuição Gamma, cada uma com definições diferentes para os parâmetros de forma e escala. Em vez de perguntar como o formulário é usado para a implementação do gsl_ran_gamma , provavelmente é mais fácil solicitar as definições associadas para a média e o desvio padrão em termos dos parâmetros de forma e escala.

Qualquer ponteiro para definições seria apreciado.

Aengus
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A documentação ambígua (ou ausente) é uma bandeira vermelha, porque sugere que os implementadores são inexperientes demais para saber que existem convenções diferentes e que elas precisam de documentação detalhada. Portanto, além de descobrir qual convenção é usada, seria prudente realizar testes completos da implementação.
whuber
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@ whuber: a documentação fornece explicitamente o formato do pdf. Nesse caso, o formulário fornecido é o mesmo que o utilizado, por exemplo, na Wikipedia.
cardeal
@ whuber: A documentação da GSL é clara e inequívoca; erro do usuário. A versão em HTML que eu reclamei foi clara o suficiente para não suspeitar de um problema.
Aengus
1
@ cardinal Obrigado. Meu comentário foi formulado em geral, mas respondeu especificamente ao Google para obter informações sobre "gsl_ran_gamma". A primeira metade da página de ocorrências apresentou apenas o tipo mais vago de documentação (e a segunda metade da página gerou vários relatórios de erros, embora antigos). Talvez você possa fornecer um link para o pdf para o registro?
whuber
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@ whuber: eu tinha colocado uma referência nos comentários para a resposta. Mas, atualmente, está oculto sob a dobra. A documentação para a distribuição gama pode ser encontrada na página 230 do manual de referência atual da GNU Scientific Library .
cardeal

Respostas:

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Se o parâmetro de forma for e a escala for , uma parametrização possui a função de densidadek>0θ>0

p(x)=xk1ex/θθkΓ(k)

onde o argumento, , não é negativo. Uma variável aleatória com essa densidade possui e variância (essa parametrização é a utilizada na página da Wikipedia sobre a distribuição gama).xkθkθ2

Uma parametrização alternativa usa como parâmetro de taxa (parâmetro de escala inversa) e possui densidadeϑ=1/θ

p(x)=xk1ϑkexϑΓ(k)

Sob essa escolha, a média é e a variação é .k/ϑk/ϑ2

Macro
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Obrigado pela resposta rápida; alguma idéia de qual formulário é usado no gsl_ran_gamma?
Aengus
Não, mas você pode simular alguns para determinados valores da forma e escala e ver se a média da amostra está mais próxima de ou . kθk/ϑ
Macro
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@ Aengus: De acordo com a documentação, o GSL usa a parametrização com médio . Na notação da documentação, a média seria . kθab
cardeal
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@ cardinal: Muito obrigado, eu não vi isso na documentação. Aprecio muito a resposta, mas você pode me indicar um link etc. Minha busca por gsl_ran_gamma foi bastante insatisfatória. Absolutamente não questionando a resposta, mas só para não perguntar algo tão simples novamente.
Aengus
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@Aengus: A seção 20.14 da documentação do GSL 1.14 (postscript) é o que eu observei. Está na página 229. Não tenho certeza se essa é a mais recente versão, já que é a partir de Março de 2010.
cardeal
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na verdade, além do que Macro disse, existe uma terceira forma para a distribuição gama Com um parâmetro de forma um parâmetro médiovμ

p(xμ,v)=constant×xv22exv2μ

se então exG(μ,v)E(x)=μvar(x)=2μ2v

Anas Alhashimi
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