Qual é a média e a variação da distribuição gama?

Existem duas formas para a distribuição Gamma, cada uma com definições diferentes para os parâmetros de forma e escala. Em vez de perguntar como o formulário é usado para a implementação do gsl_ran_gamma , provavelmente é mais fácil solicitar as definições associadas para a média e o desvio padrão em termos dos parâmetros de forma e escala.

Qualquer ponteiro para definições seria apreciado.

gamma-distribution Aengus
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A documentação ambígua (ou ausente) é uma bandeira vermelha, porque sugere que os implementadores são inexperientes demais para saber que existem convenções diferentes e que elas precisam de documentação detalhada. Portanto, além de descobrir qual convenção é usada, seria prudente realizar testes completos da implementação.

whuber

@ whuber: a documentação fornece explicitamente o formato do pdf. Nesse caso, o formulário fornecido é o mesmo que o utilizado, por exemplo, na Wikipedia.

cardeal

@ whuber: A documentação da GSL é clara e inequívoca; erro do usuário. A versão em HTML que eu reclamei foi clara o suficiente para não suspeitar de um problema.

Aengus

@ cardinal Obrigado. Meu comentário foi formulado em geral, mas respondeu especificamente ao Google para obter informações sobre "gsl_ran_gamma". A primeira metade da página de ocorrências apresentou apenas o tipo mais vago de documentação (e a segunda metade da página gerou vários relatórios de erros, embora antigos). Talvez você possa fornecer um link para o pdf para o registro?

whuber

@ whuber: eu tinha colocado uma referência nos comentários para a resposta. Mas, atualmente, está oculto sob a dobra. A documentação para a distribuição gama pode ser encontrada na página 230 do manual de referência atual da GNU Scientific Library .

cardeal

Respostas:

Se o parâmetro de forma for e a escala for , uma parametrização possui a função de densidade $k>0$ $\theta>0$

p (x) = x^{k - 1} \frac{e^{- x / θ}}{θ^{k} Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ e^{-x/\theta} }{\theta^{k} \Gamma(k)}$

onde o argumento, , não é negativo. Uma variável aleatória com essa densidade possui e variância (essa parametrização é a utilizada na página da Wikipedia sobre a distribuição gama). $x$ $k \theta$ $k \theta^{2}$

Uma parametrização alternativa usa como parâmetro de taxa (parâmetro de escala inversa) e possui densidade $\vartheta = 1/\theta$

p (x) = x^{k - 1} \frac{ϑ^{k} e^{- x ϑ}}{Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ \vartheta^{k} e^{-x \vartheta} }{\Gamma(k)}$

Sob essa escolha, a média é e a variação é . $k/\vartheta$ $k/\vartheta^{2}$

Macro
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Obrigado pela resposta rápida; alguma idéia de qual formulário é usado no gsl_ran_gamma?

Aengus

Não, mas você pode simular alguns para determinados valores da forma e escala e ver se a média da amostra está mais próxima de ou .

k θ

$k \theta$

k / ϑ

$k/\vartheta$

Macro

@ Aengus: De acordo com a documentação, o GSL usa a parametrização com médio . Na notação da documentação, a média seria .

k θ

$k\theta$

a b

$ab$

cardeal

@ cardinal: Muito obrigado, eu não vi isso na documentação. Aprecio muito a resposta, mas você pode me indicar um link etc. Minha busca por gsl_ran_gamma foi bastante insatisfatória. Absolutamente não questionando a resposta, mas só para não perguntar algo tão simples novamente.

Aengus

@Aengus: A seção 20.14 da documentação do GSL 1.14 (postscript) é o que eu observei. Está na página 229. Não tenho certeza se essa é a mais recente versão, já que é a partir de Março de 2010.

cardeal

na verdade, além do que Macro disse, existe uma terceira forma para a distribuição gama Com um parâmetro de forma um parâmetro médio $v$ $\mu$

$p(x\mid \mu,v) = constant \times x^{\frac{v-2}{2}} e^{-\frac{xv}{2\mu}}$

se então e $x \sim G(\mu,v)$ $E(x) = \mu$ $var(x) =\dfrac{2\mu^2}{v}$

Anas Alhashimi
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