Eu tenho uma distribuição observada experimentalmente que se parece muito com uma distribuição gama ou lognormal. Eu li que a distribuição lognormal é a distribuição de probabilidade máxima de entropia para uma variável aleatória para a qual a média e a variação de ln ( X ) são fixas. A distribuição gama tem propriedades semelhantes?
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Respostas:
Quanto às diferenças qualitativas, o lognormal e gama são, como você diz, bastante semelhantes.
De fato, na prática, eles costumam ser usados para modelar os mesmos fenômenos (algumas pessoas usam uma gama, enquanto outras usam um lognormal). Ambos são, por exemplo, modelos de coeficiente de variação constante (o CV para o lognormal é , para a gama é1/√eσ2−1−−−−−−√ ).1/α−−√
[Como pode ser constante se depender de um parâmetro, você pergunta? Isso se aplica quando você modela a escala (local da escala de log); para o lognormal, atua como um parâmetro de escala, enquanto para a gama, a escala é o parâmetro que não é o parâmetro de forma (ou é recíproco se você usar a parametrização da taxa de forma). Vou chamar o parâmetro de escala para a distribuição gama β . Os GLMs gama modelam a média ( μ = α β ) mantendo α constante; nesse caso, µ também é um parâmetro de escala. Um modelo com μ variável e α ou σ constante respectivamente terá CV constante.]μ β μ=αβ α μ μ α σ
Você pode achar instrutivo analisar a densidade de seus logs , o que geralmente mostra uma diferença muito clara.
O log de uma variável aleatória lognormal é ... normal. Simétrico.
O log de uma variável aleatória gama é inclinado para a esquerda. Dependendo do valor do parâmetro shape, ele pode ser bastante inclinado ou quase simétrico.
Aqui está um exemplo, com lognormal e gama com média 1 e variação 1/4. O gráfico superior mostra as densidades (gama em verde, lognormal em azul) e o gráfico inferior mostra as densidades dos logs:
(Plotar o log da densidade dos logs também é útil. Ou seja, fazer uma escala de log no eixo y acima)
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Para responder à sua pergunta sobre processos físicos que geram essas distribuições: A distribuição lognormal surge quando o logaritmo de X é normalmente distribuído, por exemplo, se X é o produto de muitos fatores pequenos. Se X é gama distribuída, é a soma de muitas variáveis distribuídas exponencialmente. Por exemplo, o tempo de espera para muitos eventos de um processo de Poisson.
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