distribuição normal:
Faça uma distribuição normal com variação conhecida. Podemos considerar essa variação como 1 sem perder a generalidade (simplesmente dividindo cada observação pela raiz quadrada da variação). Isso tem distribuição de amostragem:
p(X1...XN|μ)=(2π)−N2exp(−12∑i=1N(Xi−μ)2)=Aexp(−N2(X¯¯¯¯−μ)2)
Onde é uma constante que depende apenas dos dados. Isso mostra que a média da amostra é uma estatística suficiente para a média da população. Se usarmos um uniforme anterior, a distribuição posterior para será:Aμ
(μ|X1...XN)∼Normal(X¯¯¯¯,1N)⟹(N−−√(μ−X¯¯¯¯)|X1...XN)∼Normal(0,1)
Portanto, um intervalo credível terá o formato:1−α
(X¯¯¯¯+1N−−√Lα,X¯¯¯¯+1N−−√Uα)
Onde e são escolhidos de modo que uma variável aleatória normal normal satisfaça:LαUαZ
Pr(Lα<Z<Uα)=1−α
Agora podemos começar com essa "quantidade essencial" para construir um intervalo de confiança. A distribuição de amostragem de para fixa é uma distribuição normal padrão, portanto, podemos substituí-la pela probabilidade acima:N−−√(μ−X¯¯¯¯)μ
Pr(Lα<N−−√(μ−X¯¯¯¯)<Uα)=1−α
Em seguida, reorganize a solução para , e o intervalo de confiança será o mesmo que o intervalo credível.μ
Parâmetros de escala:
Para parâmetros de escala, os PDFs têm o formato . Podemos pegar o , que corresponde a . A distribuição da amostragem conjunta é:p(Xi|s)=1sf(Xis)(Xi|s)∼Uniform(0,s)f(t)=1
p(X1...XN|s)=s−N0<X1...XN<s
A partir da qual achamos que a estatística suficiente é igual a (o máximo das observações). Agora encontramos sua distribuição amostral:Xmax
Pr(Xmax<y|s)=Pr(X1<y,X2<y...XN<y|s)=(ys)N
Agora podemos tornar isso independente do parâmetro, tomando . Isso significa que nossa "quantidade central" é dada por com que é a distribuição . Portanto, podemos escolher usando os quantis beta, tais como:y=qsQ=s−1XmaxPr(Q<q)=qNbeta(N,1)Lα,Uα
Pr(Lα<Q<Uα)=1−α=UNα−LNα
E substituímos a quantidade essencial:
Pr(Lα<s−1Xmax<Uα)=1−α=Pr(XmaxL−1α>s>XmaxU−1α)
E existe o nosso intervalo de confiança. Para a solução bayesiana com jeffreys anteriores, temos:
p(s|X1...XN)=s−N−1∫∞Xmaxr−N−1dr=N(Xmax)Ns−N−1
⟹Pr(s>t|X1...XN)=N(Xmax)N∫∞ts−N−1ds=(Xmaxt)N
Agora, conectamos o intervalo de confiança e calculamos sua credibilidade
Pr(XmaxL−1α>s>XmaxU−1α|X1...XN)=(XmaxXmaxU−1α)N−(XmaxXmaxL−1α)N
=UNα−LNα=Pr(Lα<Q<Uα)
E pronto, temos credibilidade e cobertura .1−α