Desvio absoluto mediano (MAD) e DP de diferentes distribuições

Para dados distribuídos normalmente, o desvio padrão e o desvio absoluto médio são relacionados por:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

onde é a função de distribuição cumulativa para a distribuição normal padrão.$\Phi()$

Existe alguma relação semelhante para outras distribuições?

Para resolver a questão nos comentários:

Gostaria de saber se existe um possível intervalo de valores da constante

(Presumo que a pergunta se destine a ser sobre o desvio médio da mediana.)

1. A proporção de SD para MAD pode ser arbitrariamente grande.

   Pegue alguma distribuição com uma determinada proporção de SD para MAD. Segurar o meio da distribuição fixo (o que significa que é inalterado MAD). Mova as caudas ainda mais. SD aumenta. Continue movendo-o além de qualquer limite finito.$50\%+\epsilon$

2. A relação SD / MAD pode ser facilmente calculada o mais próximo de conforme desejado (por exemplo) colocando25%+ϵem±1e50%-2ϵem 0.$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   Eu acho que seria o menor possível.

Para qualquer distribuição de densidade , o desvio absoluto médio é dado por MAD θ = L - 1 θ ( 1 / 2 ) , onde L θ é a CDF de | X - MED θ | e MED θ = F - 1 θ ( 1 / 2 ) , onde F θ é a CDF de X .$f(x;\theta)$$\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$$G_\theta$$|X-\text{MED}_\theta|$$\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$$F_\theta$$X$

1. Nos casos em que , ou seja, quando o desvio padrão é o único parâmetro, MAD θ é, portanto, uma função determinística de σ .$\theta=\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$
2. $\theta=(\mu,\sigma)$$\mu$ $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ $|X-\text{MED}_\theta|$$|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$$\mu$$G_\theta$$\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$