Considere desenhos independentes do cdf , definido acima de 0-1, onde e são números inteiros. Agrupe arbitrariamente os sorteios em grupos com valores m em cada grupo. Veja o valor mínimo em cada grupo. Pegue o grupo que tem o maior desses mínimos. Agora, qual é a distribuição que define o valor máximo nesse grupo? De maneira mais geral, qual é a distribuição para a estatística de ésima ordem de draws de , onde a k-ésima ordem desses m também é a enésima ordem dos n-draws da estatística de k-ésima ordem?
Tudo isso é no máximo abstrato, então aqui está um exemplo mais concreto. Considere 8 empates de . Agrupe-os em 4 pares de 2. Compare o valor mínimo em cada par. Selecione o par com o maior destes 4 mínimos. Etiqueta que desenha "a". Rotule o outro valor nesse mesmo par como "b". Qual é a distribuição ? Nós sabemos . Sabemos que a é o máximo de 4 mínimos de , de . O que é ?
Respostas:
Eu respondo: "Agrupe arbitrariamente os sorteios em n grupos com valores m em cada grupo. Observe o valor mínimo em cada grupo. Pegue o grupo que possui o maior desses mínimos. Agora, qual é a distribuição que define o valor máximo? nesse grupo? "Xi,j f(xi,j) F(xi,j)
Xmax,j,Xmin,j j Xfinal P(Xfinal<x)
Seja a i-ésima variável aleatória no grupo j ( ) sua função de densidade (cdf). Seja o máximo e o mínimo no grupo . Deixe a variável que resulta no final de todo o processo. Queremos calcular que é
Um lembrete: se são iid com pdf (cdf) ( ), então possui pdf e possui pdf . Usando isso, obtemos o pdf de éX1,…Xn h H Xmin hmin=nh(1−H)n−1 Xmax hmax=nhHn−1
Y
Observe que é uma estatística independente do grupo 1, portanto sua densidade articular com qualquer variável do grupo 1 é o produto de densidades. Agora a probabilidade acima se torna ao tomar derivado deste wrt integrante e usando a fórmula binomial obtém-se a PDF de .Y
Exemplo: é uniforme, , . Então,X n=4 m=3
A média de é e seu sd é .Xfinal 374/455=0.822 0.145
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Como os sorteios são de amostras de um IDI, podemos apenas considerar o sorteio selecionado. Considere . Agora sabemos que é de e que . Assim,f(x)=dF(x)dx b f(x) b>a
O mínimo em um empate de dois ém
O maior mínimo entre 4 empates seria
Então finalmente
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