Fórmula de Schuette – Nesbitt

Eu estava lendo o artigo sobre a fórmula de Schuette-Nesbitt , que é descrita como "uma generalização do princípio de inclusão-exclusão" , que possui versões combinatória e probabilística. Outro site deu uma prova de eventos dependentes (download em pdf) e encontrou um terceiro que o compara ao Teorema de Waring (pdf)

No entanto, ainda estou confuso. Tentei encontrar um exemplo claro e elaborado usando probabilidades discretas (para simplificar) de que as etapas são claras de uma linha para a outra - para ajudar no entendimento geral da fórmula.

Existe uma boa referência ou uma resposta que possa dar um pequeno exemplo elaborado?

Encontrei um exemplo no livro a seguir e minha resposta é uma versão modificada da Seção 8.4.8.6 do livro para torná-lo conciso e claro.

Gerber, Hans U. "Seguro de vida". Seguro de Vida Matemática. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

são eventos arbitrários. N é uma variável aleatória variando ao longo do { 0 , 1 , . . . , m } . Para coeficientes reais arbitrários c 1 , ⋯ c m , a fórmula de Schuette – Nesbitt é a seguinte identidade do operador entre o operador de deslocamento E : c n ↦ c n + 1 e o operador de diferença Δ : c n ↦ c n $B_1,\cdots B_n$$N$$\{0, 1, ... , m\}$$c_1,\cdots c_m$$E:c_n\mapsto c_{n+1}$ . Por definição, eles estão relacionados viaE=id+Δ, a fórmula SN é m ∑ n = 0 c n ⋅Pr(N=n)= m ∑ k = 0 [ Δ k c 0 ] S k onde S k = ∑ j 1 , ⋯ j k Pr( B $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$$E=id+\Delta$

$$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ é a soma simétrica entre essesneventos e S 0 =1. Observe que[ Δ k c 0 ]significa operador de diferença atuando em c 0 . Por exemplo,[ Δ 2 c 0 ]= Δ 1 ( c 1 - c 0 )= Δ 1 ( c 1 )- Δ 1$S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$$n$$S_0=1$$[\Delta^{k}c_0]$$c_0$ . Ambos os operadores são lineares e, portanto, têm representações em termos de matriz; portanto, podem ser estendidos para anéis e módulos polinomiais (uma vez que esses dois objetos têm "base", falando livremente.) E = ( 0 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 00 1 $[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$ Δ= ( - 1 0 0 ⋯ 1 - 1 0 ⋯ 0 1 - 1 ⋯ 0 0 1 ⋯ $$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$ $$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$

$\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$$I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$$\Delta$

$c_0=1$$c_1=c_2=\cdots=c_n=1$

$$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$$

$r$$n$$B_1,\cdots B_n$$c_r=1$$c$

$$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ $[\Delta^{k}c_0]=0$$k<r$$t=k-r$

Há um exemplo de atribuição de envelope no livro de Gerber que você pode dar uma olhada, mas minha sugestão é entendê-lo em termos de álgebra do operador, em vez de probabilidade.