Fórmula de Schuette – Nesbitt

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Eu estava lendo o artigo sobre a fórmula de Schuette-Nesbitt , que é descrita como "uma generalização do princípio de inclusão-exclusão" , que possui versões combinatória e probabilística. Outro site deu uma prova de eventos dependentes (download em pdf) e encontrou um terceiro que o compara ao Teorema de Waring (pdf)

No entanto, ainda estou confuso. Tentei encontrar um exemplo claro e elaborado usando probabilidades discretas (para simplificar) de que as etapas são claras de uma linha para a outra - para ajudar no entendimento geral da fórmula.

Existe uma boa referência ou uma resposta que possa dar um pequeno exemplo elaborado?

sheppa28
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Respostas:

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Encontrei um exemplo no livro a seguir e minha resposta é uma versão modificada da Seção 8.4.8.6 do livro para torná-lo conciso e claro.

Gerber, Hans U. "Seguro de vida". Seguro de Vida Matemática. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

são eventos arbitrários. N é uma variável aleatória variando ao longo do { 0 , 1 , . . . , m } . Para coeficientes reais arbitrários c 1 , c m , a fórmula de Schuette – Nesbitt é a seguinte identidade do operador entre o operador de deslocamento E : c nc n + 1 e o operador de diferença Δ : c nc n +B1,BnN{0,1,...,m}c1,cmE:cncn+1 . Por definição, eles estão relacionados viaE=id+Δ, a fórmula SN é m n = 0 c nPr(N=n)= m k = 0 [ Δ k c 0 ] S k onde S k =j 1 , j k Pr( B jΔ:cncn+1cnE=id+Δ

n=0mcnPr(N=n)=k=0m[Δkc0]Sk
é a soma simétrica entre essesneventos e S 0 =1. Observe que[ Δ k c 0 ]significa operador de diferença atuando em c 0 . Por exemplo,[ Δ 2 c 0 ]= Δ 1 ( c 1 - c 0 )= Δ 1 ( c 1 )- Δ 1 (Sk=j1,jkPr(Bj1Bjk)nS0=1[Δkc0]c0 . Ambos os operadores são lineares e, portanto, têm representações em termos de matriz; portanto, podem ser estendidos para anéis e módulos polinomiais (uma vez que esses dois objetos têm "base", falando livremente.) E = ( 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 1 [Δ2c0]=Δ1(c1c0)=Δ1(c1)Δ1(c0)=(c2c1)(c1c0)=c22c1+c0 Δ= ( - 1 0 0 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1 )
E=(000100010001)
Δ=(100110011001)

j=1m(1+IBjΔ)IAIB=IABΔ

c0=1c1=c2==cn=1

n=1mPr(N=n)=k=0mΔkc0Sk=c0S0+(c1c0)S1+(c22c1+c0)S2+=S1S2+S3++(1)nSn=[Pr(B1)++Pr(Bn)][Pr(B1B2)++Pr(Bn1Bn)]++(1)nPr(S1Sn)

rnB1,Bncr=1c

Pr(N=r)=k=0m[Δkc0]Sk=k=rm[Δkc0]Sk
[Δkc0]=0k<rt=kr

Há um exemplo de atribuição de envelope no livro de Gerber que você pode dar uma olhada, mas minha sugestão é entendê-lo em termos de álgebra do operador, em vez de probabilidade.

Henry.L
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