Intuição para momentos mais altos nas estatísticas circulares

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Nas estatísticas circulares, o valor esperado de uma variável aleatória Z com valores no círculo é definido como (consulte a Wikipedia ). Essa é uma definição muito natural, assim como a definição da variação Portanto, não precisamos de um segundo momento para definir a variação!S

m1(Z)=SzPZ(θ)dθ
Vumar(Z)=1-|m1(Z)|.

No entanto, definimos os momentos superiores Admito que isso pareça bastante natural à primeira vista e muito semelhante à definição em estatística linear. Mas ainda me sinto um pouco desconfortável e tenho o seguinte

mn(Z)=SznPZ(θ)dθ.

Questões:

1. O que é medido pelos momentos superiores definidos acima (intuitivamente)? Quais propriedades da distribuição podem ser caracterizadas por seus momentos?

2. Na computação dos momentos superiores, usamos a multiplicação de números complexos, embora pensemos nos valores de nossas variáveis ​​aleatórias apenas como vetores no plano ou como ângulos. Eu sei que a multiplicação complexa é essencialmente a adição de ângulos neste caso, mas ainda assim: Por que a multiplicação complexa é uma operação significativa para dados circulares?

Rasmus
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Respostas:

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PZZ1Z[0 0,2π)

Quanto à sua segunda pergunta, acho que você já deu a resposta: "multiplicação complexa é essencialmente adição de ângulos neste caso".

Mark Meckes
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Obrigado, isso é realmente útil. (Shame on me por não reconhecer uma série de Fourier, mesmo quando empurrando-os para ele ...)
Rasmus
Isso significa que os momentos de uma distribuição circular devem ser comparados com a função característica de uma distribuição linear e não com seus momentos?
Rasmus
@ Rasmus: Eu acho que depende exatamente do que você quer fazer com as informações, mas em geral eu diria que sim.
Mark Meckes