Probabilidade de um evento que não é mensurável

Sabemos pela teoria das medidas que existem eventos que não podem ser medidos, ou seja, não são mensuráveis pela língua de Lebes. Como chamamos um evento com probabilidade em que a medida de probabilidade não está definida? Que tipos de declarações faríamos sobre esse evento?

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Isso não computa. Talvez eu precise de café ou esteja interpretando mal isso. Há uma diferença entre uma função de medida que não está sendo definida e um conjunto que não é mensurável. Se a pergunta estiver relacionada à função, é simplesmente um ponto em que a função não está definida. Isso não exclui a possibilidade de uma função definida e é uma medida de probabilidade válida.

Iterator

Se você não pode estabelecer um conjunto não mensurável de Lebesgue sem o axioma da escolha, como você propõe saber se um evento específico com uma probabilidade não mensurável aconteceu ou não?

Henry

@ Henry: O OP pode estar se referindo apenas à terminologia. Quanto a como eu poderia me referir a esse evento, eu teria que invocar o Infinite Improbability Drive de Douglas Adams. Ou chame isso de fenômeno da Rainha Branca, pois ela podia acreditar em 6 coisas impossíveis antes do café da manhã. :)

Iterator

Como o cardeal apontou, conjuntos não mensuráveis são amplamente utilizados na teoria das probabilidades. O livro Fraca convergência e processos empíricos de van der Vaart, apresenta uma introdução muito boa. A leitura deste livro requer um bom histórico em matemática, mas a teoria apresentada é linda em minha opinião.

Mpgtas

Você está interessado apenas em resultados que envolvam a medida de Lebesgue ou mais geralmente dentro da estrutura da teoria das probabilidades? Parece haver algumas dúvidas sobre isso entre os participantes aqui.

cardeal

Respostas:

Como afirmei nos comentários, como lidar com esses tipos de eventos (conjuntos não mensuráveis) é descrito no livro: Fraca convergência e processos empíricos de A. van der Vaart e A. Wellner. Você pode navegar pelas primeiras páginas.

A solução de como lidar com esses conjuntos é bastante simples. Aproxime-os com conjuntos mensuráveis. Então, suponha que tenhamos um espaço de probabilidade . Para qualquer conjunto defina a probabilidade externa (está na página 6 do livro): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Acontece que você pode construir uma teoria muito proveitosa com esse tipo de definição.

mpiktas
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Embora eu não seja um especialista em teoria empírica de processos, tenho a impressão de que o uso de probabilidades externas não é realmente baseado no desejo de atribuir probabilidades a conjuntos não mensuráveis, mas porque você não deseja passar pelo incômodo de provando mensurabilidade o tempo todo. E se você pode viver sem coisas como o teorema de Fubini, basicamente não perde nada apenas computando probabilidades externas.

NRH 04/08/11

Editar: À luz do comentário do cardeal: Tudo o que digo abaixo é implicitamente sobre a medida de Lebesgue (uma medida completa). Relendo sua pergunta, parece que também é sobre isso que você está perguntando. No caso geral da medida de Borel, pode ser possível estender a medida para incluir seu conjunto (algo que não é possível com a medida de Lebesgue porque ela já é tão grande quanto possível).

A probabilidade de tal evento não seria definida. Período. Assim como uma função com valor real não é definida para um número complexo (não real), uma medida de probabilidade é definida em conjuntos mensuráveis, mas não nos conjuntos não mensuráveis.

Então, que declarações poderíamos fazer sobre esse evento? Bem, para iniciantes, esse evento teria que ser definido usando o axioma da escolha. Isso significa que todos os conjuntos que podemos descrever por alguma regra são excluídos. Ou seja, todos os conjuntos nos quais geralmente estamos interessados são excluídos.

Mas não poderíamos dizer algo sobre a probabilidade de um evento não mensurável? Coloque um limite nele ou algo assim? O paradoxo de Banach-Tarski mostra que isso não vai funcionar. Se a medida do número finito de peças em que Banach-Tarski decompõe a esfera tivesse um limite superior (digamos, a medida da esfera), construindo esferas suficientes, teríamos uma contradição. Por um argumento semelhante ao contrário, vemos que as peças não podem ter um limite inferior não trivial.

Não mostrei que todos os conjuntos não mensuráveis são tão problemáticos, embora eu acredite que uma pessoa mais inteligente do que eu seja capaz de apresentar um argumento que mostre que não podemos, de maneira consistente, colocar qualquer limite não trivial na "medida" "de qualquer conjunto não mensurável (desafio à comunidade).

Em resumo, não podemos fazer nenhuma declaração sobre a medida de probabilidade de um conjunto desse tipo; este não é o fim do mundo, porque todos os conjuntos relevantes são mensuráveis.

Har
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Esta é uma resposta interessante e informativa. Mas, você pode estar muito focado na mensurabilidade da Lebesgue. Conjuntos não mensuráveis são muito mais prevalentes na teoria das probabilidades.

cardeal

Já existem boas respostas, mas deixe-me contribuir com outro ponto. A medida de Lebesgue é freqüentemente considerada no Lebesgue álgebra, que está completa e, como já apontado, precisamos do axioma de escolha para estabelecer conjuntos não mensuráveis de Lebesgue. Na teoria geral das probabilidades e, em particular, em relação aos processos estocásticos, está longe de ser óbvio que você pode fazer uma conclusão relevante da álgebra, e eventos não mensuráveis são menos exóticos. Em certo sentido, a diferença entre a Borel álgebra e a Lebesgue álgebra em é mais interessante do que os conjuntos exóticos que não estão na Lebesgue álgebra. $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

O problema que vejo principalmente, relacionado à pergunta, é que um conjunto (ou uma função) pode não ser obviamente mensurável. Em alguns casos, você pode provar que realmente é, mas pode ser difícil, e em outros casos, só pode provar que é mensurável quando você estende a álgebra pelos conjuntos nulos de alguma medida. Para investigar as extensões de álgebras de Borel nos espaços topológicos, você frequentemente encontrará os chamados conjuntos de Souslin ou conjuntos analíticos, que não precisam ser mensuráveis pelo Borel. $\sigma$ $\sigma$

NRH
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