Esta é a minha primeira vez aqui, portanto, deixe-me saber se posso esclarecer minha pergunta de alguma forma (incluindo formatação, tags, etc.). (E espero poder editar mais tarde!) Tentei encontrar referências e resolvi-me usando a indução, mas falhei em ambas.
Estou tentando simplificar uma distribuição que parece reduzir a uma ordem estatística de um conjunto infinito contável de independentes variáveis aleatórias com diferentes graus de liberdade; especificamente, o que é a distribuição do th menor valor entre independente ?
Eu estaria interessado no caso especial : qual é a distribuição do mínimo de (independente) ?
No mínimo, pude escrever a função de distribuição cumulativa (CDF) como um produto infinito, mas não posso simplificá-la ainda mais. Eu usei o fato de que o CDF de é (Com , isso confirma o segundo comentário abaixo sobre equivalência com uma distribuição exponencial com expectativa 2.) O CDF do mínimo pode então ser escrito como O primeiro termo no produto é apenas , e o "último" termo é
Outro lembrete potencialmente útil: é o mesmo que uma distribuição exponencial com a expectativa 2 e é a soma de dois desses exponenciais, etc. χ 2 4
Se alguém está curioso, estou tentando simplificar o Teorema 1 neste artigo para o caso de regressão em uma constante ( para todos os ). (Eu tenho vez de distribuições desde que multiplicado por .)i χ 2 Γ 2 k
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Respostas:
Os zeros do produto infinito serão a união dos zeros dos termos. A computação para o vigésimo termo mostra o padrão geral:
Esse gráfico dos zeros no plano complexo distingue as contribuições dos termos individuais no produto por meio de símbolos diferentes: a cada passo, as curvas aparentes são estendidas ainda mais e uma nova curva é iniciada ainda mais à esquerda.
A complexidade desta imagem demonstra que não existe solução de forma fechada em termos de funções conhecidas de análises superiores (como gama, tetas, funções hipergeométricas etc.), bem como as funções elementares, conforme pesquisado em um texto clássico como Whittaker & Watson ).
Assim, o problema pode ser colocado de maneira mais proveitosa de maneira um pouco diferente : o que você precisa saber sobre as distribuições das estatísticas dos pedidos? Estimativas de suas funções características? Momentos de baixa ordem? Aproximações para quantis? Algo mais?
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Desculpas por chegar seis anos atrasado. Embora o PO provavelmente já tenha se voltado para outros problemas, a questão permanece fresca e achei que poderia sugerir uma abordagem diferente.
Nos é dado onde onde com pdf :X i ~ Chisquared ( v i ) v i = 2 i f i ( x i )(X1,X2,X3,…) Xi∼Chisquared(vi) vi=2i fi(xi)
Aqui está um gráfico do do pdf correspondente , conforme o tamanho da amostra aumenta, para :i = 1 a 8fi(xi) i=1 to 8
Estamos interessados na distribuição de .min(X1,X2,X3,…)
Cada vez que adicionamos um termo extra, o pdf do último termo marginal adicionado muda cada vez mais para a direita, de modo que o efeito da adição de mais e mais termos se torna não apenas cada vez menos relevante, mas depois de apenas alguns termos , torna-se quase insignificante - no mínimo na amostra. Isso significa, na verdade, que apenas um número muito pequeno de termos provavelmente será importante ... e adicionar termos adicionais (ou a presença de um número infinito de termos) é em grande parte irrelevante para o problema mínimo da amostra.
Teste
Para testar isso, calculei o pdf de para 1 termo, 2 termos, 3 termos, 4 termos, 5 termos, 6 termos, 7 termos, 8 termos, para 9 termos e para 10 termos. Para fazer isso, usei a função mathStatica , instruindo-a aqui para calcular o pdf da amostra mínima (a estatística de ordem ) em uma amostra do tamanho , e onde o parâmetro (em vez disso de ser corrigido) é :1 r j i v imin(X1,X2,X3,…) 1st j i vi
OrderStatNonIdentical
Fica um pouco complicado à medida que o número de termos aumenta ... mas eu mostrei a saída para 1 termo (1ª linha), 2 termos (segunda linha), 3 termos (3ª linha) e 4 termos acima.
O diagrama a seguir compara o pdf da amostra mínima com 1 termo (azul), 2 termos (laranja), 3 termos e 10 termos (vermelho). Observe como os resultados são semelhantes com apenas 3 termos versus 10 termos:
O diagrama a seguir compara 5 termos (azul) e 10 termos (laranja) - os gráficos são tão semelhantes que se apagam e nem se pode ver a diferença:
Em outras palavras, aumentar o número de termos de 5 para 10 quase não tem impacto visual discernível na distribuição da amostra mínima.
Aproximação semi-logística
Finalmente, uma excelente aproximação simples do pdf da amostra mínima é a distribuição semi-logística com o pdf:
O diagrama a seguir compara a solução exata com 10 termos (que são indistinguíveis de 5 termos ou 20 termos) e a aproximação semi-logística (tracejada):
Aumentar para 20 termos não faz diferença discernível.
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