Se tivermos 2 variáveis aleatórias normais e não correlacionadas , podemos criar 2 variáveis aleatórias correlacionadas com a fórmula
e então terá uma correlação ρ com X 1 .
Alguém pode explicar de onde vem essa fórmula?
Se tivermos 2 variáveis aleatórias normais e não correlacionadas , podemos criar 2 variáveis aleatórias correlacionadas com a fórmula
e então terá uma correlação ρ com X 1 .
Alguém pode explicar de onde vem essa fórmula?
Respostas:
Suponha que você queira encontrar uma combinação linear de e X 2 de modo queX1 X2
Observe que, se você multiplicar e β pela mesma constante (diferente de zero), a correlação não será alterada. Assim, vamos adicionar uma condição para preservar a variação: var ( α X 1 + β X 2 ) = var ( X 1 )α β var(αX1+βX2)=var(X1)
Isso é equivalente a
Assumindo que ambas as variáveis aleatórias tenham a mesma variância (essa é uma suposição crucial!) ( ), obtemosvar(X1)=var(X2)
Existem muitas soluções para essa equação, então é hora de recuperar a condição de preservação de variação:
E isso nos leva a
UPD . Em relação à segunda pergunta: sim, isso é conhecido como clareamento .
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A equação é uma forma bivariada simplificada de decomposição de Cholesky . Essa equação simplificada às vezes é chamada de algoritmo de Kaiser-Dickman (Kaiser e Dickman, 1962).
Observe que e X 2 devem ter a mesma variação para que esse algoritmo funcione corretamente. Além disso, o algoritmo é normalmente usado com variáveis normais. Se X 1 ou X 2 não são normais, Y pode não ter a mesma forma distributiva como X 2 .X1 X2 X1 X2 Y X2
Referências:
Kaiser, HF e Dickman, K. (1962). Matrizes de pontuação de amostra e população e matrizes de correlação de amostra de uma matriz de correlação populacional arbitrária. Psychometrika, 27 (2), 179-182.
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Correlation coefficient is thecos between two series if they are treated as vectors (with nth data point being nth dimension of a vector). The above formula simply creates a decomposition of a vector into its cosθ , sinθ components (with respect to X1,X2 ).ρ=cosθ ,
then 1−ρ2−−−−−√=±sinθ .
if
Because ifX1,X2 are uncorrelated, the angle between them is a right angle (ie, they can be considered as orthogonal, albeit non-normalized, basis vectors ).
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