A escolha da coluna não importa: a distribuição resultante nas matrizes ortogonais especiais, SO ( n ) , ainda é uniforme.
Explicarei isso usando um argumento que se estende, de maneira óbvia, a muitas questões relacionadas sobre a geração uniforme de elementos de grupos. Cada etapa deste argumento é trivial, exigindo nada mais que referência a definições adequadas ou um cálculo simples (como notar que a matrizEu1 1 é ortogonal e auto-inversa).
O argumento é uma generalização de uma situação familiar. Considere a tarefa de elaborar positivos números reais de acordo com uma distribuição contínua especificada . Isso pode ser feito retirando qualquer número real de uma distribuição contínua e negando o resultado, se necessário, para garantir um valor positivo (quase certamente). Para que esse processo tenha a distribuição , deve ter a propriedade queG F GFGFG
G ( x ) - G ( - x ) = F( X ) .
A maneira mais simples de fazer isso é quando é simétrico em torno de modo que , implicando : todas as probabilidades positivas as densidades são simplesmente duplicadas e todos os resultados negativos são eliminados. A relação familiar entre a distribuição semi-normal ( ) e a distribuição normal ( ) é desse tipo.0 L ( x ) - 1 / 2 = 1 / 2 - L ( - x ) F ( x ) = 2 L ( x ) - 1 F GG0 0L ( x ) - 1 / 2 = 1 / 2 - L ( - X )F( x ) = 2 G ( x ) - 1FG
A seguir, o grupo desempenha o papel de números reais diferentes de zero (considerado como um grupo multiplicativo ) e seu subgrupo desempenha o papel de números reais positivos . A medida Haar é invariável sob negação; portanto, quando é "dobrada" de para , a distribuição dos valores positivos não muda . (Esta medida, infelizmente, não pode ser normalizada para uma medida de probabilidade - mas é a única maneira pela qual a analogia se decompõe.)S O ( n ) R + d x / x R - { 0 } R +O ( n )SO ( n )R+dx / xR -{0}R+
Negar uma coluna específica de uma matriz ortogonal (quando seu determinante é negativo) é o análogo de negar um número real negativo para dobrá-lo no subgrupo positivo. De maneira mais geral, você pode escolher com antecedência qualquer matriz ortogonal de determinante negativo e usá-la em vez deI 1JEu1 1 : os resultados serão os mesmos.
Embora a questão seja formulada em termos de geração de variáveis aleatórias, ela realmente pergunta sobre distribuições de probabilidade nos grupos de matrizes eS O ( n , R ) = S O ( n )O ( n , R ) = O ( n )SO ( n , R ) = SO ( n ) . A conexão entre esses grupos é descrita em termos da matriz ortogonal
Eu1 1= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜- 10 0⋮0 00 01 1⋮0 00 00 0⋮0 0…………0 00 00 01 1⎞⎠⎟⎟⎟⎟
porque negar a primeira coluna de uma matriz ortogonal significa multiplicar à direita por . Observe que e é a união disjuntaX I 1 S O ( n ) ⊂ O ( n ) O ( n )XXEu1 1SO ( n ) ⊂ O ( n )O ( n )
O ( n ) = SO ( n ) ∪ SO ( n )Eu- 11 1.
Dado um espaço de probabilidade definido em , o processo descrito na pergunta define um mapaO ( n )( O ( n ) , S , P )O ( n )
f: O ( n ) → SO ( n )
definindo
f( X ) = X
quando eX ∈SO ( n )
f( X ) = X I1 1
paraX ∈SO ( n )Eu1 1- 1 .
A questão está preocupada em gerar elementos aleatórios em obtendo elementos aleatórios : ou seja, "empurrando-os para a frente" via para produzir . O pushforward cria um espaço de probabilidade comω ∈ O ( n ) f f ∗ ω = f ( ω ) ∈ S O ( n ) ( S O ( n ) , S ′ , P ′ )SO ( n )ω ∈ O ( n )ff∗ω = f( ω ) ∈ SO ( n )( SO ( n ) , S′, P′)
S′= f∗S ={f( E)|E⊂ S }
e
P′( E) = ( f∗P )(E) = P ( f- 1( E) ) = P ( E∪ EEu1 1)
para todos os .E⊂ S′
Assumir que a multiplicação correta por preserva a medida, e observando que, em qualquer caso, , seguiria imediatamente para todos os , E∩EEu1 1E∈ S ′E∩EI1=∅E∈S′
P′(E)=P(E∪EI−11)=P(E)+P(EI−11)=2P(E).
Em particular, quando é invariável sob multiplicação à direita em (que é o que "uniforme" normalmente significa), o fato óbvio de que e seu inverso (que é igual a ) são ortogonais, o que precede, demonstrando que é uniforme. Portanto , é desnecessário selecionar uma coluna aleatória para negação. O ( n ) I 1 I 1 P 'PO(n)I1I1P′
The question is concerned about generating
, achei difícil me empurrar para frente através do simbolismo. Você poderia resumir o raciocínio em palavras , para um leigo mais cedo, por favor?