Essa distribuição discreta tem um nome?

Essa distribuição discreta tem um nome? Para $i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Eu me deparei com essa distribuição a partir do seguinte: Eu tenho uma lista de $N$ itens classificados por alguma função de utilitário. Eu quero selecionar aleatoriamente um dos itens, tendendo para o início da lista. Então, primeiro escolho um índice $j$ entre 1 e $N$ uniformemente. Depois, seleciono um item entre os índices 1 e $j$ . Eu acredito que esse processo resulta na distribuição acima.

Você tem uma versão discreta da distribuição de log negativa, ou seja, a distribuição cujo suporte é e cujo pdf é f ( t ) = - log t .$[0, 1]$$f(t) = - \log t$

Para ver isso, vou redefinir sua variável aleatória para obter valores no conjunto vez de { 0 , 1 , 2 , … , N } e chamar o resultante distribuição t . Então, minha reivindicação é que$\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$$\{0, 1, 2, \ldots, N \}$$T$

$$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

como enquanto $N, t \rightarrow \infty$$\frac{t}{N}$ é mantido (aproximadamente) constante.

Primeiro, um pequeno experimento de simulação demonstrando essa convergência. Aqui está uma pequena implementação de um amostrador da sua distribuição:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Aqui está um histograma de uma grande amostra retirada de sua distribuição:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

e aqui está o pdf logarítmico sobreposto:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

Para ver por que essa convergência ocorre, comece com sua expressão

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$$

e multiplique e divida por $N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$$

A soma agora é uma soma de Riemann para a função , integrado a partir de$g(x) = \frac{1}{x}$$\frac{t}{N}$$1$$N$ ,

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

qual é a expressão que eu queria chegar.

Isso parece estar relacionado à distribuição de Whitworth. (Não acredito que seja a distribuição Whitworth, pois, se bem me lembro, é a distribuição de um conjunto de valores ordenados, mas parece estar conectado a ele e depende do mesmo esquema de soma).

Há alguma discussão sobre o Whitworth (e inúmeras referências) em

Anthony Lawrance e Robert Marks, (2008)
"Distribuições de tamanho firme em uma indústria com recursos limitados",
Applied Economics , vol. 40, edição 12, páginas 1595-1607

(Parece haver uma versão em papel aqui )

Veja também

Nancy L Geller, (1979)
Um teste de significância para a distribuição Whitworth,
Jornal da Sociedade Americana de Ciência da Informação , Vol.30 (4), pp.229-231