Como é definida a variação de longo prazo no domínio da análise de séries temporais?
Eu entendo que é utilizado no caso de haver uma estrutura de correlação nos dados. Assim, o nosso processo estocástico não seria uma família de iid variáveis aleatórias, mas sim apenas identicamente distribuídos?
Eu poderia ter uma referência padrão como uma introdução ao conceito e as dificuldades envolvidas em sua estimativa?
Respostas:
É uma medida do erro padrão da média da amostra quando há dependência serial.
SeYt é covariância estacionária com E(Yt)=μ e Cov(Yt,Yt−j)=γj (em uma configuração de iid, essa quantidade seria zero!) Tal que ∑∞j=0|γj|<∞ . Então
limT→∞{Var[T−−√(Y¯T−μ)]}=limT→∞{TE(Y¯T−μ)2}=∑j=−∞∞γj=γ0+2∑j=1∞γj,
onde a primeira igualdade é definitiva, asegunda é um pouco mais difícil de estabelecere a terceira uma conseqüência da estacionariedade, o que implica que γj=γ−j .
Portanto, o problema é realmente falta de independência. Para ver isso mais claramente, escreva a variação da média da amostra comoE(Y¯T−μ)2=E[(1/T)∑t=1T(Yt−μ)]2=1/T2E[{(Y1−μ)+(Y2−μ)+…+(YT−μ)}{(Y1−μ)+(Y2−μ)+…+(YT−μ)}]=1/T2{[γ0+γ1+…+γT−1]+[γ1+γ0+γ1+…+γT−2]+…+[γT−1+γT−2+…+γ1+γ0]}
Um problema ao estimar a variação de longo prazo é que, obviamente, não observamos todas as autocovariâncias com dados finitos. Kernel (em econometria, "Newey-West" ou estimadores HAC) são usados para esse fim,
Um kernel popular é o kernel Bartlettk(jℓT)={(1−jℓT)0for0⩽j⩽ℓT−1forj>ℓT−1
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