Por que o supremo da ponte browniana tem a distribuição Kolmogorov – Smirnov?

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A distribuição Kolmogorov – Smirnov é conhecida a partir do teste Kolmogorov – Smirnov . No entanto, é também a distribuição do supremo da ponte browniana.

Como isso está longe de ser óbvio (para mim), eu gostaria de pedir uma explicação intuitiva dessa coincidência. Referências também são bem-vindas.

Rasmus
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@GaBorgulya: O que você mudou?
Rasmus
Veja aqui e aqui .
cardeal

Respostas:

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nsupx|FnF|=supx|1ni=1nZi(x)|

onde Zi(x)=1XixE[1Xix]

por CLT você tem Gn=1ni=1nZi(x)N(0,F(x)(1F(x)))

esta é a intuição ...

a ponte browniana tem variação t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge substitua t por F ( x ) . Isto é para um xB(t)t(1t) tF(x)x ...

Você também precisa verificar a covariância e, portanto, ainda é fácil mostrar (CLT) que para ( ) ( G n ( x 1 ) , , G n ( x k ) ) ( B 1 , , B k ) onde ( B 1 , , B k ) é N ( 0 , Σ ) Σx1,,xk(Gn(x1),,Gn(xk))(B1,,Bk)(B1,,Bk)N(0,Σ) com , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . Σ=(σij)σij=min(F(xi),F(xj))F(xi)F(xj)

A parte difícil é mostrar que a distribuição do supremo do limite é o supremo da distribuição do limite ... Entender por que isso acontece requer alguma teoria empírica do processo, ler livros como van der Waart e Welner (não é fácil) . O nome do teorema é Teorema de Donsker http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Robin Girard
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Não devemos aplicar o CLT a todas as distribuições marginais de dimensão finita?
Rasmus
você pediu uma resposta intuitiva :) também eu escolho não incomodá-lo com a parte matemática complicada que é mostrar que a convergência para todos t implica a convergência (em lei) do supremo ... você deseja que eu complete o responda ?
22810 robin girard
Caro Robin Girard, acho que sua resposta está correta. Obrigado!
Rasmus
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a parte difícil é mostrar convergência fraca. A convergência dos supremos segue diretamente do teorema do mapeamento contínuo. Esse resultado pode ser encontrado nas "Medidas de convergência de probabilidades" de Billingsley. Van der Vaart e Wellner dar resultado mais geral e seu livro é muito, muito difícil :)
mpiktas
@robingirard Eu, pessoalmente, gostaria de ver uma "resposta completa" com toda a "parte matemática complicada [s]"
StatsPlease
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nf(x)=1niχ(,Xi](x) , no limite de dados infinitos, convergirá para a distribuição subjacente.

qx=q a função de distribuição empírica avança. Podemos vê-lo como uma caminhada aleatória que é restrita a começar e terminar na verdadeira função de distribuição. Depois que você souber disso, vasculhe a literatura pela enorme quantidade de informações conhecidas sobre passeios aleatórios para descobrir qual é o maior desvio esperado de um passeio assim.

pp=2p

user873
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