A distribuição Kolmogorov – Smirnov é conhecida a partir do teste Kolmogorov – Smirnov . No entanto, é também a distribuição do supremo da ponte browniana.
Como isso está longe de ser óbvio (para mim), eu gostaria de pedir uma explicação intuitiva dessa coincidência. Referências também são bem-vindas.
Respostas:
ondeZi(x)=1Xi≤x−E[1Xi≤x]
por CLT você temGn=1n√∑ni=1Zi(x)→N(0,F(x)(1−F(x)))
esta é a intuição ...
a ponte browniana tem variação t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge substitua t por F ( x ) . Isto é para um xB(t) t(1−t) t F(x) x ...
Você também precisa verificar a covariância e, portanto, ainda é fácil mostrar (CLT) que para ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , … , B k ) onde ( B 1 , … , B k ) é N ( 0 , Σ ) Σx1,…,xk (Gn(x1),…,Gn(xk))→(B1,…,Bk) (B1,…,Bk) N(0,Σ) com , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . Σ=(σij) σij=min(F(xi),F(xj))−F(xi)F(xj)
A parte difícil é mostrar que a distribuição do supremo do limite é o supremo da distribuição do limite ... Entender por que isso acontece requer alguma teoria empírica do processo, ler livros como van der Waart e Welner (não é fácil) . O nome do teorema é Teorema de Donsker http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...
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