Distribuições não normais com assimetria zero e curtose zero em excesso?

Questão principalmente teórica. Existem exemplos de distribuições não normais que têm os quatro primeiros momentos iguais aos da normal? Eles poderiam existir na teoria?

Sim, exemplos com assimetria e curtose excessiva zero são relativamente fáceis de construir. (De fato, os exemplos (a) a (d) abaixo também apresentam assimetria média-mediana de Pearson 0)

(a) Por exemplo, nesta resposta, um exemplo é dado usando uma mistura 50-50 de uma variável gama (que eu chamo ) e o negativo de uma segunda, que tem uma densidade parecida com a seguinte:$X$

Claramente, o resultado é simétrico e não normal. O parâmetro de escala não é importante aqui, portanto, podemos torná-lo 1. A escolha cuidadosa do parâmetro de forma da gama produz a curtose necessária:

1. A variação dessa gama dupla ( ) é fácil de calcular em termos da variável gama em que se baseia: .$Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. O quarto momento central da variável é o mesmo que , que para uma gama ( ) é$Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Como resultado, a curtose é . Isso é quando , o que acontece quando .$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

(b) Também poderíamos criar um exemplo como uma mistura de escala de dois uniformes. Seja e , e deixe . Claramente, considerando que é simétrico e tem alcance finito, devemos ter ; a assimetria também será 0 e os momentos centrais e os momentos brutos serão os mesmos.$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

Da mesma forma, e, portanto, a curtose é$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Se escolhermos , a curtose será 3 e a densidade será semelhante a esta:$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

(c) aqui está um exemplo divertido. Deixe , para .$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

Seja uma mistura 50-50 de e :$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

por simetria (também precisamos que seja finito, mas dado que é finito, temos isso)$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

por simetria (e pelo fato de existir o 3º momento absoluto) skew = 0

Quarto momento:$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

curtose =$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

portanto, quando , a curtose é 3. Esse é o caso ilustrado acima.$\lambda=\frac12$

(d) todos os meus exemplos até agora foram simétricos, pois as respostas simétricas são mais fáceis de criar - mas soluções assimétricas também são possíveis. Aqui está um exemplo discreto.

Como você vê, nenhum desses exemplos parece particularmente "normal". Seria simples criar qualquer número de variáveis ​​discretas, contínuas ou mistas com as mesmas propriedades. Embora muitos dos meus exemplos tenham sido construídos como misturas, não há nada de especial nas misturas, além de muitas vezes serem uma maneira conveniente de fazer distribuições com propriedades da maneira que você deseja, um pouco como construir coisas com o Lego.

Esta resposta fornece alguns detalhes adicionais sobre a curtose que devem tornar um pouco mais claras algumas das considerações envolvidas na construção de outros exemplos.

Você pode combinar mais momentos da mesma maneira, embora exija mais esforço para fazê-lo. No entanto, como o MGF do normal existe, você não pode corresponder todos os momentos inteiros do normal com alguma distribuição não normal, pois isso significaria que os MGFs correspondam, o que implica que a segunda distribuição também era normal.

Bons pontos são feitos por Glen_b. Eu acrescentaria apenas a consideração da função Dirac Delta como grão adicional para a usina. Como observa a Wikipedia, "O DDF é uma função generalizada, ou distribuição, na linha de número real que é zero em qualquer lugar, exceto em zero, com uma integral de um em toda a linha real", com a conseqüência de que todos os momentos mais altos do DDF são zero.

Paul Dirac o aplica à mecânica quântica em seu livro de 1931, The Principles of Quantum Mechanics, mas suas origens remontam a Fourier, Lesbesgue, Cauchy e outros. O DDF também possui análogos físicos na modelagem da distribuição, por exemplo, do estalo de um taco batendo na bola.