A ordenação convexa implica domínio da cauda direita?

10

Dadas duas distribuições contínuas e , não está claro para mim se a relação de dominância convexa entre elas: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

implica que

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

detém ou se alguma hipótese adicional é necessária se é para reter? $(1)$

Definição de dominância convexa.

Se duas distribuições contínuas e satisfizerem: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] então escrevemos:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

e diga que está mais inclinado à direita que . Como e são distribuições de probabilidade, também implica que a derivada de é monotonicamente não decrescente e não negativa [1], que é convexo [2], que e cruzam no máximo duas vezes [2] e que [2], para : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, van WR (1964). Transformações convexas de variável aleatória. (1964). Amesterdão: Mathematish Centrum.
[1] Oja, H. (1981). Sobre localização, escala, assimetria e curtose de distribuições univariadas. Jornal Escandinavo de Estatística. Vol. 8, pp. 154-168
[2] RA Groeneveld e G. Meeden. (1984). Medição da assimetria e curtose. O estatístico. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions user603
fonte

11

Suponho que haja algum erro na última desigualdade - se ela contiver , a simetria implicaria igualdade , que por sua vez iria ser simétrica wrt vs .

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

Juho Kokkala

11

Observe que existe após a equação (6) de [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

Juho Kokkala

você está certo. Foi mal. Eu consertei isso agora.

usar o seguinte comando

2

Em geral, isso não é verdade. Considere, por exemplo, e . $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Você pode ver imediatamente que . No entanto, . No entanto, é verdade que, a partir de uma certa , para todos . $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

user123456
fonte

Você poderia adicionar algumas explicações para esta resposta? É um pouco curto para nossos padrões!

Kjetil b halvorsen

4

Ok, acho que isso pode ser resolvido assim (comentários bem-vindos):

Denotando e as distribuições de e e lembrando que $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

implica (Oja, 1981) que tal que: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Como a mudança não afeta a ordem convexa, podemos assumir, sem perda de generalidade, que foi deslocado para que: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

de modo a

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Portanto, parece que sim , a ordenação convexa de implica o domínio da cauda direita de sobre (ou, para ser mais precisa, alguma versão de ) $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

user603
fonte

A ordenação convexa implica domínio da cauda direita?

Respostas:

Ok, acho que isso pode ser resolvido assim (comentários bem-vindos):