Convexidade da função do PDF e CDF da variável aleatória normal normal

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Por favor, forneça prova de que é convexax>0. Aqui,ϕeQ(x)=x2+xϕ(x)Φ(x)x>0 0ϕ são o PDF e CDF normal padrão, respectivamente.Φ

PASSOS TENTADOS

1) MÉTODO DE CÁLCULO

Eu tentei o método de cálculo e tenho uma fórmula para o segundo derivado, mas não sou capaz de mostrar que é positivo x>0 0 . Entre em contato se precisar de mais detalhes.

Finalmente, Q(x)

Deixei Q(x)=x2+xϕ(x)Φ(x)
Q ( x )
Q(x)x=2x+x[-xϕ(x)Φ(x)-{ϕ(x)Φ(x)}2]+ϕ(x)Φ(x)
2 Q(x)
Q(x)x|x=0 0=ϕ(0 0)Φ(0 0)>0 0
2Q(x)x2=2+xϕ(x)[Φ2(x)+x2Φ2(x)+3xϕ(x)Φ(x)+2ϕ2(x)Φ3(x)]+2[xϕ(x)Φ(x){ϕ(x)Φ(x)}2]
=2+ϕ(x)[x3Φ2(x)+3x2ϕ(x)Φ(x)+2xϕ2(x)-3xΦ2(x)-2ϕ(x)Φ(x)Φ3(x)]
Let, K(x)=2Φ3(x)+2xϕ3(x)+Φ2(x)ϕ(x)x[x2-3]+ϕ2(x)Φ(x)[3x2-2](
=[2Φ3(x)+x3Φ2(x)ϕ(x)+3x2ϕ2(x)Φ(x)+2xϕ3(x)-3xΦ2(x)ϕ(x)-2ϕ2(x)Φ(x)Φ3(x)]
Deixei, K(x)=2Φ3(x)+2xϕ3(x)+Φ2(x)ϕ(x)x[x2-3]+ϕ2(x)Φ(x)[3x2-2]
Parax
K(0 0)=14-12π>0 0
. Parax ( 0,x3,K(x)>0 0, K ( x )x(0 0,3)
K(x)=6Φ2(x)ϕ(x)+2ϕ3(x)-6x2ϕ3(x)+2Φ(x)ϕ2(x)[x3-3x]-Φ2(x)ϕ(x)[x4-3x2]+Φ2(x)ϕ(x)[3x2-3]-2ϕ2(x)Φ(x)[3x3-2x]+ϕ3(x)[3x2-2]+ϕ2(x)Φ(x)6x
K(x)=6Φ2(x)ϕ(x)-3Φ2(x)ϕ(x)+2ϕ3(x)-2ϕ3(x)+6xΦ(x)ϕ2(x)-6xΦ(x)ϕ2(x)+3x2Φ2(x)ϕ(x)+3x2Φ2(x)ϕ(x)+2x3Φ(x)ϕ2(x)-6x3Φ(x)ϕ2(x)+3x2ϕ3(x)-6x2ϕ3(x)+4xΦ(x)ϕ2(x)-x4Φ2(x)ϕ(x)
=3Φ2(x)ϕ(x)+6x2Φ2(x)ϕ(x)+4xΦ(x)ϕ2(x)-3x2ϕ3(x)-x4Φ2(x)ϕ(x)-4x3Φ(x)ϕ2(x)
=ϕ(x)[3Φ2(x)+x{6xΦ2(x)-3xϕ2(x)-x3Φ2(x)+4Φ(x)ϕ(x)[1-x2]}]

2) MÉTODO GRÁFICO / NUMÉRICO

Também pude ver isso numericamente e visualmente, plotando os gráficos como mostrado abaixo; mas seria útil ter uma prova adequada.

insira a descrição da imagem aqui

texmex
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Respostas:

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Qx0 0Φϕ .

Por definição,

ddxΦ(x)=ϕ(x)=12πexp(-x2/2).

ddxϕ(x)=-xϕ(x).

A aplicação desse resultado a outros rendimentos derivativos

d2dx2ϕ(x)=(-1+x2)ϕ(x).

Usando esses resultados, juntamente com as regras usuais de diferenciação do produto e quociente, descobrimos que o numerador da segunda derivada é a soma de seis termos. (Esse resultado foi obtido no meio da pergunta.) É conveniente organizar os termos em três grupos:

Φ(x)3d2dx2Q(x)=2xϕ(x)3+3x2ϕ(x)2Φ(x)+x3ϕ(x)Φ(x)2+Φ(x)(-2ϕ(x)2-3xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2).

ϕΦx0 0 . Seu sinal é o mesmo do seu segundo fator,

R(x)=-2ϕ(x)2-3xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2.

Existem muitas maneiras de mostrar que esse fator não pode ser negativo. Uma é notar que

R(0 0)=-2ϕ(0 0)+2Φ(0 0)=1-2π>0

A diferenciação - usando as mesmas técnicas simples de antes - fornece

ddxR(x)=ϕ(x)(xϕ(x)+(1+3x2)Φ(x))

x0 0R(x)[0 0,)R(0 0)>0 0R(x)>0 0x0 0

Qx0 0

whuber
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Obrigado @whuber, que excelente resposta. Aprecio muito sua ajuda. Eu estava tentando algo semelhante e procurando esmagar os termos negativos usando os termos positivos, mas ainda não havia tentado a combinação que você tentou acima. Fiquei muito feliz ao ver seu resultado.
texmex