Variação do produto das variáveis ​​dependentes

Qual é a fórmula para variação do produto de variáveis ​​dependentes?

No caso de variáveis ​​independentes, a fórmula é simples:

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$$ Mas qual é a fórmula para variáveis ​​correlacionadas?

A propósito, como posso encontrar a correlação com base nos dados estatísticos?

Bem, usando a identidade familiar que você apontou,

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

Usando a fórmula análoga para covariância,

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

e

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

o que implica que, em geral, pode ser escrito como${\rm var}(XY)$

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

Observe que, no caso de independência, e isso reduz a${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

e os dois termos são cancelados e você obtém$[ E(X)E(Y) ]^{2}$

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

como você apontou acima.

Editar: se tudo o que você observa é e não e separadamente, não creio que haja uma maneira de você estimar ou exceto em casos especiais (por exemplo, se tiverem meios conhecidos a priori )X Y c o v ( X , Y ) c o v ( X 2 , Y 2 ) X , $XY$$X$$Y$${\rm cov}(X,Y)$${\rm cov}(X^2,Y^2)$$X,Y$

Este é um adendo à ótima resposta do @ Macro, que estabelece exatamente o que é necessário saber para determinar a variação do produto de duas variáveis ​​aleatórias correlacionadas. Como onde , , , e cov(X,Y)E[X]E[Y]E[X2]

$$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,Y)$$E[X]$$E[Y]$$E[X^2]$E [ X 2 Y 2 ] ( 2 ) cov ( X 2 , Y 2 ) ( 3 ) X Y cov ( X , Y ) = cov ( X 2 , Y 2 ) = 0 cov ( X , Y ) 0 E [ X 2 Y 2 ] cov $E[Y^2]$ Como se pode presumir que são quantidades conhecidas, precisamos determinar o valor de em ou em . Isso não é fácil de fazer em geral, mas, como já apontado, se e são variáveis ​​aleatórias independentes , . De fato, dependência, não correlação (ou falta dela) é a questão principal. O fato de sabermos que é igual a vez de algum valor diferente de zero, por si só,$E\left[X^2Y^2\right]$$(2)$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(3)$$X$$Y$$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$$\operatorname{cov}(X,Y)$$0$ajuda no mínimo em nossos esforços estão determinando o valor de ou mesmo que não simplificar os lados direito e um pouco.$E\left[X^2Y^2\right]$( 2 ) ( 3 $\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(2)$$(3)$

Quando e são variáveis ​​aleatórias dependentes , em pelo menos um caso especial (bastante comum ou bastante importante), é possível encontrar o valor de relativa facilidade.Y E [ X 2 Y 2 $X$$Y$$E\left[X^2Y^2\right]$

Suponha que e sejam variáveis ​​aleatórias conjuntamente normais com coeficiente de correlação . Então, condicionada em , a densidade condicional de é uma densidade normal com média e variação . Assim, Y ρ X = x Y E [ Y ] + ρ $X$$Y$$\rho$$X = x$$Y$var(Y)(1-ρ2)E[X2Y2∣X$E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$$\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$Xg(X)E[X2Y2]=E[E[X2Y2|X]]=E[g(X)](4)

$$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$$ que é uma função quártica de , digamos , e a Lei da Expectativa Iterada nos diz que onde o lado direito de pode ser calculado a partir do conhecimento do 3º e 4º momentos do - resultados padrão que podem ser encontrados em muitos textos e livros de referência (significando que tenho preguiça de procurá-los e incluí-los nesta resposta).$X$$g(X)$ $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ $(4)$$X$

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Adendo adicional: em uma resposta agora excluída, o @Hydrologist fornece a variação de como e afirma que esta fórmula é de dois artigos publicados há meio século na JASA. Esta fórmula é uma transcrição incorreta dos resultados nos artigos citados por Hydrologist. Especificamente,$XY$

$$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$é uma tradução incorreta de no artigo da revista e da mesma forma para e .C o v [ x 2 , y ] C o v [ x , y 2 $E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$