Variância de combinações lineares de variáveis ​​aleatórias correlacionadas

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Entendo a prova de que

Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abCov(X,Y),
mas não sei Não entendo como provar a generalização para combinações lineares arbitrárias.

Seja escalares para para que tenhamos um vetor , e X _ = X i , , X n seja um vetor de variáveis ​​aleatórias correlacionadas. Então V a r ( a 1 X 1 + a n X n ) = n i = 1 a 2 i σ 2 i + 2 n i = 1aii1,,na_X_=Xi,,Xn

Var(a1X1+anXn)=i=1nai2σi2+2i=1nj>inaiaj Cov(Xi,Xj)
Como provamos isso? Eu imagino que há provas na notação somatória e na notação vetorial?

Hatshepsut
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Respostas:

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Este é apenas um exercício para aplicar propriedades básicas de somas, linearidade de expectativa e definições de variância e covariância

var(i=1naiXi)=E[(i=1naiXi)2](E[i=1naiXi])2one definition of variance=E[i=1nj=1naiajXiXj](E[i=1naiXi])2basic properties of sums=i=1nj=1naiajE[XiXj](i=1naiE[Xi])2linearity of expectation=i=1nj=1naiajE[XiXj]i=1nj=1naiajE[Xi]E[Xj]basic properties of sums=i=1nj=1naiaj(E[XiXj]E[Xi]E[Xj])combine the sums=i=1nj=1naiajcov(Xi,Xj)apply a definition of covariance=i=1nai2var(Xi)+2i=1nj:j>inaiajcov(Xi,Xj)re-arrange sum
cov(Xi,Xi)var(Xi)
Dilip Sarwate
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Na verdade, você pode fazer isso por recursão sem usar matrizes:

Var(a1X1+Y1)Y1=a2X2+Y2

Var(a1X1+Y1)

=a12Var(X1)+2a1Cov(X1,Y1)+Var(Y1)

=a12Var(X1)+2a1Cov(X1,a2X2+Y2)+Var(a2X2+Y2)

=a12Var(X1)+2a1a2Cov(X1,X2)+2a1Cov(X1,Y2)+Var(a2X2+Y2)

Yi1=aiXi+YiYn1=anXn

Com vetores (portanto, o resultado deve ser escalar):

Var(aX)=aVar(X)a

Ou com uma matriz (o resultado será uma matriz de variância-covariância):

Var(AX)=AVar(X)A

A

Mesmo se você souber apenas os resultados univariados, poderá confirmá-los verificando elemento por elemento.

Glen_b -Reinstate Monica
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Basicamente, a prova é a mesma que a primeira fórmula. Vou provar que usa um método muito brutal.

Var(a1X1+...+anXn)=E[(a1X1+..anXn)2][E(a1X1+...+anXn)]2=E[(a1X1)2+...+(anXn)2+2a1a2X1X2+2a1a3X1X3+...+2a1anX1Xn+...+2an1anXn1Xn][a1E(X1)+...anE(Xn)]2

=a12E(X12)+...+an2E(Xn2)+2a1a2E(X1X2)+...+2an1anE(Xn1Xn)a12[E(X1)]2...an2[E(Xn)]22a1a2E(X1)E(X2)...2an1anE(Xn1)E(Xn)

=a12E(X12)a12[E(X1)]2+...+an2E(Xn2)an2[E(Xn)]2+2a1a2E(X1X2)2a1a2E(X1)E(X2)+...+2an1anE(Xn1Xn)2an1anE(Xn1)E(Xn)

Em seguida, observe:

an2E(Xn2)an2[E(Xn)]2=anσn2

e

2an1anE(Xn1Xn)2an1anE(Xn1)E(Xn)=2an1anCov(Xn1,Xn)

Norte profundo
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Apenas por diversão, prova por indução!

P(k)Var[i=1kaiXi]=i=1kai2σi2+2i=1kj>ikaiajCov[Xi,Xj]

P(2)

Vamos assumir que P (k) é verdadeiro. Portanto,

Var[i=1k+1aiXi]=Var[i=1kaiXi+ak+1Xk+1]

=Var[i=1kaiXi]+Var[ak+1Xk+1]+2Cov[i=1kaiXi,ak+1Xk+1]

=i=1kai2σi2+2i=1kj>ikaiajCov[Xi,Xj]+ak+12σk+12+2Cov[i=1kaiXi,ak+1Xk+1]

=i=1k+1ai2σi2+2i=1kj>ikaiajCov[Xi,Xj]+2i=1kaiak+1Cov[Xi,Xk+1]

=i=1k+1ai2σi2+2i=1k+1j>ik+1aiajCov[Xi,Xj]

P(k+1)

Então, por indução,

Var[i=1naiXi]=i=1nai2σi2+2i=1nj>inaiajCov[Xi,Xj]n2

Jonathan
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