Como provar que um evento ocorre infinitamente (quase certamente)?

Exercício: Há um dado de 6 lados justo e uma moeda tendenciosa que tem probabilidade p> 0 de subir cabeças em cada lançamento. O dado é rolado infinitamente com frequência, e sempre que você rola um 6, você joga a moeda. Prove que, com a probabilidade 1, você joga "cabeças" infinitamente.

Agora, eu recebo essa pergunta intuitivamente; jogadas infinitas de dados significa ocorrências infinitas de cada número no dado, incluindo 6, o que significa que a moeda também será lançada um número infinito de vezes e, como há uma chance garantida de que as cabeças sejam um resultado, também obteremos um número infinito de cabeças.

No entanto, não sei como expressar isso em notação matemática e espero que alguém aqui possa me ajudar.

O espaço da amostra consiste em sete resultados possíveis: "1" a "5" no dado, "6" e "caudas" e "6" e "cabeças". Vamos abreviá-los como .$\Omega=\{1,2,3,4,5,6T,6H\}$

Os eventos serão gerados pelos átomos e, portanto, todos os subconjuntos de Ω são mensuráveis.$\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6H\}$$\Omega$

A medida de probabilidade é determinada por seus valores nesses átomos. As informações na pergunta, juntamente com a suposição (razoável) de que o sorteio é independente do lançamento do dado, informa que essas probabilidades são as apresentadas nesta tabela:$\mathbb{P}$

$$\begin{array}{lc} \text{Outcome} & \text{Probability} \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ \text{6T} & \frac{1-p}{6} \\ \text{6H} & \frac{p}{6} \end{array}$$

Uma sequência de realizações independentes de é uma sequência ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , … ), cujos elementos estão em Ω . Vamos chamar o conjunto de todas essas seqüências Ω ∞ . O problema básico aqui reside em lidar com seqüências infinitas . A ideia motivadora por trás da solução a seguir é simplificar o cálculo da probabilidade até que possa ser reduzido ao cálculo da probabilidade de um evento finito . Isso é feito em etapas.$X$$(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots)$$\Omega$$\Omega^\infty$

Primeiro, para discutir probabilidades, precisamos definir uma medida em ∞ que faça eventos como " 6 H ocorrerem infinitamente frequentemente" em conjuntos mensuráveis. Isso pode ser feito em termos de conjuntos "básicos" que não envolvem uma especificação infinita de valores. Desde que nós sabemos como definir probabilidades P n no set de finitos seqüências de comprimento n , Ω n , vamos definir a "extensão" de qualquer mensurável E ⊂ Ω n consistir em toda infinita seqüências w ∈ Ω ∞ que têm algum elemento de $\Omega^\infty$$6H$$\mathbb{P}_n$$n$$\Omega^n$$E \subset \Omega^n$$\omega\in\Omega^\infty$$E$ como seu prefixo:

$$E^\infty = \{(\omega_i)\in\Omega^\infty\,|\, (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in E\}.$$

O menor sigma-álgebra em que contém todos esses conjuntos é a que vai trabalhar.$\Omega^\infty$

A medida de probabilidade em Ω ∞ é determinada pelas probabilidades finitas P n . Ou seja, para todos os n e todos os E ⊂ Ω n ,$\mathbb{P}_\infty$$\Omega^\infty$$\mathbb{P}_n$$n$$E\subset \Omega^n$

$$\mathbb{P}_\infty(E^\infty) = \mathbb{P}_n(E).$$

(As declarações anteriores sobre a sigma-álgebra em ea medida P ∞ são maneiras elegantes para realizar o que será de argumentos limitantes.)$\Omega^\infty$$\mathbb{P}_\infty$

Tendo gerenciado essas formalidades, podemos fazer os cálculos. Para começar, precisamos estabelecer que faz sentido discutir a "probabilidade" de ocorrerem infinitamente. Este evento pode ser construído como a interseção de eventos do tipo " 6 H ocorre pelo menos n vezes", para n = 1 , 2 , … . Por ser uma interseção contável de conjuntos mensuráveis, é mensurável e, portanto, existe sua probabilidade.$6H$$6H$$n$$n=1, 2, \ldots$

Segundo, precisamos calcular essa probabilidade de ocorrerem infinitamente com frequência. Uma maneira é calcular a probabilidade do evento complementar: qual é a chance de o 6 H ocorrer apenas finitamente muitas vezes? Este evento E será mensurável, porque é o complemento de um conjunto mensurável, como já estabelecemos. E pode ser particionado em eventos E n da forma " 6 H ocorre exatamente n vezes", para n = 0 , 1 , 2 , … . Porque existem apenas muitos deles, a probabilidade de$6H$$6H$$E$$E$$E_n$$6H$$n$$n=0, 1, 2, \ldots$ será a soma (contável) das probabilidades de E n . Quais são essas probabilidades?$E$$E_n$

Mais uma vez, podemos fazer uma partição: divide os eventos E n , N da forma " 6 H ocorre exatamente n vezes no rolo N e nunca ocorre novamente". Esses eventos são disjuntos e contáveis ​​em número; portanto, tudo o que precisamos fazer (de novo!) É calcular suas chances e somar. Mas finalmente reduzimos o problema a um cálculo finito : P ∞ ( E n , N ) não é maior que a chance de qualquer evento finito da forma " 6 H ocorrer para o $E_n$$E_{n,N}$$6H$$n$$N$$\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$$6H$ vez no rolo N e não ocorre entre os rolos N e M > N. "O cálculo é fácil porque não precisamos realmente saber os detalhes: cada vez que M aumenta em 1 , a chance - seja o que for - é multiplicado ainda mais pela chance de 6 H não ser rolado, que é 1 - p / 6. Dessa forma, obtemos uma sequência geométrica com razão comum r = 1 - p / 6 < 1 . Independentemente do valor inicial,ele cresce arbitrariamente pequeno como$n^\text{th}$$N$$N$$M \gt N$$M$$1$$6H$$1-p/6$$r = 1-p/6 \lt 1$ fica grande.$M$

(Observe que não precisamos adotar um limite de probabilidades: precisamos mostrar apenas que a probabilidade de é limitada acima por números que convergem para zero.)$E_{n,N}$

Consequentemente, não pode ter nenhum valor maior que 0 , portanto deve ser igual a 0 . Adequadamente,$\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$$0$$0$

$$\mathbb{P}_\infty(E_n) = \sum_{N=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_{n,N}) = 0.$$

Onde estamos? Acabamos de estabelecer que para qualquer , a chance de observar exatamente n resultados de 6 H é nula. Ao adicionar-se todos esses zeros, conclui-se que P ∞ ( E ) = ∞ Σ n = 0 P ∞ ( E n ) = 0. Esta é a possibilidade de que 6 H ocorre apenas um número finito de vezes. Conseqüentemente, a chance de 6 H ocorrer infinitamente várias vezes é 1 - 0 = $n \ge 0$$n$$6H$

$$\mathbb{P}_\infty(E) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_n) = 0.$$ $6H$$6H$$1-0 = 1$, QED .

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Cada afirmação no parágrafo anterior é tão óbvia que é intuitivamente trivial. O exercício de demonstrar suas conclusões com algum rigor, usando as definições de álgebras sigma e medidas de probabilidade, ajuda a mostrar que essas definições são as corretas para trabalhar com probabilidades, mesmo quando sequências infinitas estão envolvidas.

Você tem duas respostas legais para resolver a questão usando os princípios básicos de probabilidade. Aqui estão dois teoremas que ajudam a responder a essa pergunta rapidamente em situações em que essas soluções são apropriadas:

A Lei Forte de Grandes Números (SLLN) diz que, para variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média finita, a média da amostra converge para a média verdadeira quase certamente.

O Segundo Lema de Borel-Cantelli (BC2) diz que, se a soma das probabilidades de uma sequência de eventos independentes for infinita, infinitamente muitos desses eventos acontecerão quase certamente.

Veja como isso responde à sua pergunta usando o SLLN:

$Y_i$$i$$Y_i$$\theta:=p/6>0$$\sum_{i=1}^n Y_i/n \to \theta$$\sum_{i=1}^n Y_i \to \infty$

Veja como isso responde à sua pergunta usando o BC2:

$E_i$$i$$P(E_i)=p/6>0$$i$$\sum_{i=1}^nP(E_i)\to\infty$$E_i$

Enfatizo que essas duas respostas exigem muita maquinaria oculta em dois teoremas, e qualquer pessoa interessada em responder a essas e outras perguntas semelhantes terá que decidir se são apropriadas.

$I_j$$j^{\text{th}}$

$$\sum_{j=0}^\infty P(I_j) \stackrel{?}{=} 0.$$ $P(I_j) = 0$$j$$A_{j,n}$$n$$j^{\text{th}}$$I_j \subseteq A_{j,n}$$n$$P(I_j) \le P(A_{j,n})$$n \to \infty$$P(I_j) \le \lim_{n \to \infty} P(A_{j,n}) = 0$$P(A_{j,n})$$n-j - 1$

(EDIT: Isso pode ser mais ou menos equivalente à resposta do @whuber, mas com um pouco menos de formalidade / detalhe, pois estou assumindo que o OP não está em uma estrutura teórica da medida.)