Convenções de notação para variáveis ​​aleatórias e suas distribuições

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Fico confuso com as notações apropriadas de significados, bem como com os significados de algumas notações relacionadas a variáveis ​​aleatórias e suas distribuições. Abaixo, vou listar as coisas que considero verdadeiras, bem como as que não entendo, e eu adoraria sugestões / correções. Marquei cada ponto / pergunta com um número para facilitar a referência. Se não for apropriado listar itens em uma única pergunta como essa, entre em contato. Eu pensei que seria bom, pois todos eles são curtos.

  1. Uma variável aleatória é simbolizada por uma letra maiúscula, por exemplo X .

  2. O que significa uma operação em uma variável aleatória? (por exemplo, como você interpreta X2 em palavras?).

  3. Um sorteio específico de uma variável aleatória é anotado pela letra minúscula (por exemplo, x ) ou pela letra minúscula com um índice subscrito (por exemplo, x1 ) ou por um número em maiúscula com um número (por exemplo, X1 ).

  4. A variável aleatória que é a estatística de ordem kth de n extraída de uma variável aleatória X é anotada como Xkn .

  5. Existe uma maneira abreviada de escrever "X é a variável aleatória distribuída por F (x) (ou" cdf F (x) "ou" B (a, b) "ou qualquer maneira de caracterizar uma distribuição)"?

  6. Posso escrever EF(x) para significar a expectativa da variável distribuída de acordo com F(x) ?

  7. Se eu executar uma operação em CDF de uma variável X, por exemplo, Fnew(x)=Fold(x)2 para obter a CDF do máximo de 2 baseia-se em X , pode eu Notate que em termos de X alguma forma?

  8. É a maneira apropriada de escrever sucintamente F 2 ( x ) ou F ( x ) 2 ?(F(x))2F2(x)F(x)2

  9. Existe alguma diferença notacional entre uma variável discreta e uma variável contínua?

OctaviaQ
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Karl já resumiu tudo perfeitamente, só quero acrescentar que é entendido como uma expectativa da variável aleatória y = F ( x ) , onde x é a variável aleatória. Se x F , então F ( x ) é uniformemente distribuído no intervalo [ 0 , 1 ] , então EEF(x)y=F(x)xxFF(x)[0,1] , para qualquer x ~ FEF(x)=1/2xF. Definitivamente não é o tipo de definição que você gostaria de usar :)
mpiktas

Respostas:

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  1. Eu gosto de dizer: uma variável aleatória atribui um número a cada resultado possível de um "experimento" aleatório, onde um experimento aleatório é um processo bem definido com um resultado incerto.

  2. é outra variável aleatória; sempre que X = x ,X2X=x .X2=x2

  3. Geralmente usaria letras minúsculas como realização de variáveis ​​aleatórias. Eu não usaria o dessa maneira; seria outra variável aleatória.X1

  4. Eu não falaria sobre draws de uma variável aleatória. Eu falaria sobre n draws de uma distribuição, que daria n variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas, X 1 , ..., X n . Geralmente, eu escreveria a estatística de ordem k não como X k n, mas como X ( k ) , e observaria que é uma variável aleatória.nnnX1XnkXknX(k)

  5. Você geralmente escrever dizer X é uma variável aleatória com distribuição F .XFXF

  6. Eu nunca vi essa notação pela média de uma distribuição. Eu diria , onde X ~ F .EXXF

  7. Eu apenas escrever , onde X i ~ iid  F .Y=max(X1,X2)Xiiid F

  8. Acho que qualquer um pode ser entendido, mas provavelmente é mais claro e, embora seja mais complicado de digitar, não ocupa muito mais espaço.[F(x)]2

  9. Geralmente, não há uma diferença de notação entre variáveis ​​discretas e contínuas, exceto que você geralmente não escolheria como uma variável aleatória contínua.N

Karl
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Muito obrigado, Karl! Uma pergunta no 5: "F" é um cdf, ou pdf, ou o nome da distribuição conhecida (parametrizada?), Como U (0,1) ou B (a, b)?
OctaviaQ
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@JandR - você pode usar qualquer um deles (geralmente maiúsculas para cdfs e minúsculas para pdfs), uma vez que o cdf implica um determinado pdf e vice-versa.
Karl
Então, eu também poderia dizer e seria inferir que f é um pdf? Obrigado! Xff
OctaviaQ
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@JandR - provavelmente, mas normalmente você estaria explicando qualquer maneira, e seria melhor ser preciso (embora mais detalhado) ao dizer " X é uma variável aleatória com pdf f ". fXf
Karl
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@JandR - esse foi um erro de digitação; Eu escrevi "não", mas significava "nota"
Karl