Provar uma sequência diminui (suportado pela plotagem de um grande número de pontos)

Muitas das perguntas que eu postei no SE no mês passado têm o objetivo de me ajudar a resolver esse problema específico. Todas as perguntas foram respondidas, mas ainda não consigo encontrar uma solução. Então, imaginei que deveria apenas perguntar o problema que estou tentando resolver diretamente.

Seja , onde , , (número inteiro) e todo seja um cdf acima .F n = ( 1 - ( 1 - F n - 1 ) c ) c F 0 = x c ≥ 2 F n ( 0 , 1 $X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

Quero provar que diminui com para todos os (ou mesmo, para qualquer específico )! Posso mostrar que converge para uma massa de Dirac na solução única para Para , . . Ao olhar para um gráfico de cdfs para aumentar 's para o mesmo , todos os cdfs cruzam em . O valor de diminui para valores de menores que e aumenta para valores de maiores que n c c F n x c = ( 1 - ( 1 - x ) c ) c ) c = 2 x 2 = ( 3 - $\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$ncxnF(x)xxnxx$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$(à medida que aumenta) convergindo para uma linha vertical em .x $n$$x_n$

Abaixo está um gráfico de para a para a . É claro que é um enredo discreto, mas tenho as linhas unidas para facilitar a visualização. Para gerar esse gráfico, usei o NIntegrate no Mathematica, embora precisasse fazê-lo em , pois, por alguma razão, o Mathematica não conseguiu gerar respostas com valores altos de para a função original. Os dois devem ser equivalentes, conforme o teorema de Young, . No meu caso, , . n = 1 40 c = 2 7 1 - F - 1 n n ∫ 1 0 F ( x $\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$F - 1 n ( x ) = 1 - ( 1 - ( F - 1 n - 1 ) $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ F - 1 n=$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

Como você pode ver, o se move muito a uma distância de um minuto do ponto fixo . À medida que aumenta, o ponto fixo diminui (eventualmente irá para 0).x c$EX_n$$x_c$$c$

Portanto, certamente parece verdade que diminui com para todos . Mas não posso provar isso. Alguém pode me ajudar? (novamente, eu ficaria um pouco feliz com apenas um ). E, se você não puder, mas tiver uma idéia de por que esse problema específico pode ser insolúvel, compartilhe também essa visão. n c $EX_n$$n$$c$$c$

Isso foi respondido no MO por Pietro Majer aqui .