Podemos sempre reescrever uma distribuição inclinada correta em termos de composição de uma distribuição arbitrária e simétrica?

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Considere uma distribuição duas vezes diferenciável e simétrica . Agora considere uma segunda distribuição diferenciável rigth enviesada no sentido de que:FXFZ

(1)FXcFZ.

onde é a ordem convexa de van Zwet [0] para que seja equivalente a:c(1)

(2)FZ1FX(x) is convex xR.

Considere agora uma terceira distribuição diferenciável duas vezes satisfazendo:FY

(3)FYcFZ.

Minha pergunta é: podemos sempre encontrar uma distribuição e uma distribuição simétrica para reescrever qualquer (todos os três definidos acima) em termos de uma composição de e como:FYFXFZFXFY

FZ(z)=FYFX1FY(z)

ou não?

Editar:

Por exemplo, se é o Weibull com o parâmetro de forma 3.602349 (para que seja simétrico) e é a distribuição Weibull com o parâmetro de forma 3/2 (para que seja inclinado à direita), eu receboFXFZ

maxz|FZ(z)FYFX1FY(z)|0

configurando como a distribuição Weibull com o parâmetro de forma 2.324553. Observe que todas as três distribuições atendem:FY

FX=FXcFYcFZ,
conforme necessário. Gostaria de saber se isso é verdade em geral (nas condições declaradas).
  • [0] van Zwet, WR (1979). Média, mediana, modo II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, Edição 1, páginas 1--5.
user603
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Respostas:

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Não!

Um contra-exemplo simples é fornecido pela distribuição Tukey (o caso especial para da distribuição Tukey e ).gh=0gh

Por exemplo, seja a Tukey com o parâmetro e seja a Tukey com o parâmetro e uma distribuição da Tukey para a qual . Como , essas três distribuições satisfazem:FXggX=0FZggZ>0FYggYgZh=0

FX=FXcFYcFZ.

(o primeiro vem da definição do Tukey que é simétrico se , o próximo de [0], teorema 2.1 (i)).gg=0

Por exemplo, para , temos o seguinte:gZ=0.5

mingYgZmaxz|FZ(z)FYFX1FY(z)|0.005>0

(por algum motivo, o mínimo parece sempre estar próximo de ).gYgZ/2

  • [0] Propriedades HL MacGillivray Shape das famílias g-e-h e Johnson. Comm. Statist. - Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233–1250

Editar:

No caso do Weibull, a alegação é verdadeira:

Seja a distribuição Weibull com o parâmetro de forma (o parâmetro de escala não afeta a ordem convexa, para que possamos configurá-lo como 1 sem perda de generalidade). Da mesma forma , e e .FZwZFYFXwYwX

Primeira nota que quaisquer três distribuições Weibull sempre podem ser ordenadas no sentido de [0].

Em seguida, observe que:

FX=FXwX=3.602349.

Agora, para o Weibull:

FY(y)=1exp((y)wY),FY1(q)=(ln(1q))1/wY,

de modo a

FYFX1FY(z)=1exp(zwY2/wX),

Desde a

FZ(z)=1exp(zwZ).

Portanto, a reivindicação sempre pode ser atendida configurando .wY=wZ/wX

  • [0] van Zwet, WR (1979). Média, mediana, modo II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, Edição 1, páginas 1--5.
  • [1] Groeneveld, RA (1985). Skewness para a família weibull. Statistica Neerlandica. Volume 40, Edição 3, páginas 135–140.
user603
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