Qual é a distribuição para o máximo (mínimo) de duas variáveis ​​aleatórias normais independentes?

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Especificamente, suponha que e sejam variáveis ​​aleatórias normais (independentes, mas não necessariamente distribuídas de forma idêntica). Dado qualquer nomeadamente , existe uma fórmula agradável para ou conceitos semelhantes? Sabemos que \ max (X, Y) é normalmente distribuído, talvez uma fórmula para média e desvio padrão em termos daqueles para X e Y ? Eu verifiquei os lugares habituais (wikipedia, google), mas não encontrei nada.XYumaP(max(X,Y)x)max(X,Y)XY

Richard Rast
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Respostas:

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O máximo de dois normais não idênticos pode ser expresso como uma distribuição normal de distorção de Azzalini. Ver, por exemplo, um documento / apresentação de trabalho de 2007 de Balakrishnan

Um olhar distorcido das estatísticas de ordens bivariadas e multivariadas
Prof. N. Balakrishnan
Working paper / presentation (2007)

Um artigo recente de ( Nadarajah e Kotz - visível aqui ) fornece algumas propriedades de max :(X,Y)

Nadarajah, S. e Kotz, S. (2008), "Distribuição exata das máximas / mínimas de duas variáveis ​​aleatórias gaussianas", TRANSAÇÕES IEEE EM SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO DE ESCALA MUITO GRANDE (VLSI), VOL. 16, NO. 2, fevereiro de 2008

Para trabalhos anteriores, consulte:

AP Basu e JK Ghosh, "Identificabilidade das distribuições multinormais e outras sob o modelo de riscos concorrentes", J. Multivariate Anal., Vol. 8, pp. 413–429, 1978

HN Nagaraja e NR Mohan, "Sobre a independência da distribuição da vida do sistema e a causa da falha", Scandinavian Actuarial J., pp. 188-198, 1982.

YL Tong, a distribuição normal multivariada. Nova York: Springer-Verlag, 1990.


Pode-se também usar um sistema de álgebra computacional para automatizar o cálculo. Por exemplo, dado com pdf e com pdf :XN(μ1 1,σ1 12)f(x)YN(μ2,σ22)g(y)

insira a descrição da imagem aqui

... o pdf de Z=mumax(X,Y) é:

insira a descrição da imagem aqui

onde estou usando a Maximumfunção do pacote mathStatica do Mathematica e Erfdenota a função de erro.

wolfies
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Como não tenho acesso a este artigo, gostaria de compartilhar a fórmula que derivam?
Richard Rast
Eu adicionei algumas outras referências ... e forneceu uma derivação automatizado CAS
wolfies
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@RichardRast Encontrei uma referência ao vivo para Nadarajah e Kotz - adicionada acima para seu prazer
visual
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Surpreende-me que nas respostas anteriores a propriedade mais interessante não seja mencionada: a distribuição de probabilidade cumulativa para o máximo é o produto das respectivas distribuições de probabilidade cumulativa.

gciriani
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Isso é interessante. Isso é apenas para normais, ou quaisquer distribuições? Você tem uma citação que eu possa ler para ler mais sobre isso?
Richard Rast
@RichardRast, é verdade para qualquer tipo de variáveis ​​independentes distribuídas aleatoriamente, veja este post mathoverflow.net/questions/145659/…
gciriani