Na figura a seguir, no lado esquerdo, duas realizações de processos pontuais com diferentes densidades (intensidade) e estão sendo misturadas, correspondendo ao centro das áreas pertencentes, para construir um processo pontual no meio com intensidade . Em seguida, pontos selecionados aleatoriamente como dois conjuntos extraídos, como mostrado no lado direito.
Perguntas:
é ? e ?
Se dois no lado esquerdo eram Poisson PP, o do meio é um Poisson PP?
E os dois do lado direito?
poisson-distribution
point-process
Desenvolvedor
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Respostas:
Para responder a essa pergunta, precisamos de um pouco de histórico e notação. Na terminologia geral, vamosN denota um processo pontual no plano, o que significa que, para qualquer conjunto de Borel, A , no avião, N(A) é um valor inteiro (incluindo ) variável aleatória, que conta o número de pontos em . Além disso, é uma medida para cada realização do processo de ponto .+∞ A A↦N(A) N
Associada ao processo pontual está a medida de expectativa onde a expectativa é sempre bem definida, pois
As definições e observações a seguir seguem.
Resumo I: Mostramos que sempre que um processo pontual é uma soma ou superposição de processos pontuais com intensidades, a superposição tem como intensidade a soma das intensidades. Além disso, se os processos são independentes de Poisson, a superposição é Poisson.
Para a parte restante da questão, assumimos queN({x})≤1 como para todos os conjuntos singleton {x} . Então o processo pontual é chamado de simples. Os processos de Poisson com intensidades são simples. Para um processo pontual simples, há uma representação deN Como
E seN é um processo de Poisson, deve ficar claro que, por disjunção UMA1,…,An então N1(UMA1) , … ,N1(UMAn) são novamente independentes e
Resumo II: Concluímos que o desbaste aleatório com probabilidade de sucessop de um processo pontual simples, N com intensidade λ resulta em dois processos pontuais simples, N1 e N2 , com intensidades pλ e (1−p)λ , respectivamente, e N é a superposição de N1 e N2 . Além disso, seN é um processo de Poisson então N1 e N2 são processos independentes de Poisson.
É natural perguntar se poderíamos emagrecer independentemente, sem assumir que oZi são identicamente distribuídos e obtêm resultados semelhantes. Isso é possível, mas um pouco mais complicado de formular, porque a distribuição deZi então tem que estar ligado ao Xi de alguma forma. Por exemplo,P(Zi=1∣N)=p(xi) para uma determinada função p . É então possível mostrar o mesmo resultado acima, mas com a intensidadepλ significando a função p(x)λ(x) . Ignoramos a prova. A melhor referência matemática geral que abrange processos de pontos espaciais é Daley e Vere-Jones . Um segundo próximo, cobrindo estatísticas e algoritmos de simulação, em particular, é Møller e Waagepetersen .
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