Processos de pontos de mistura e divisão

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Na figura a seguir, no lado esquerdo, duas realizações de processos pontuais com diferentes densidades (intensidade) e estão sendo misturadas, correspondendo ao centro das áreas pertencentes, para construir um processo pontual no meio com intensidade . Em seguida, pontos selecionados aleatoriamente como dois conjuntos extraídos, como mostrado no lado direito. Perguntas: é ? e ? Se dois no lado esquerdo eram Poisson PP, o do meio é um Poisson PP? E os dois do lado direito?λ1λ2λ

λ=λ1+λ2λ=λ3+λ4

insira a descrição da imagem aqui

Desenvolvedor
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As palavras-chave que você procura são superposição e afinamento do processo de Poisson. A resposta, com algumas qualificações, é sim . Porém, uma resposta afirmativa depende intimamente de (i) independência dos dois processos no primeiro caso e (ii) como a divisão é feita no segundo caso. :)
cardeal
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Obrigado pelas palavras-chave. Eu apreciaria se você desse uma explicação completa como resposta. Pois (i) como ambos são Poisson PP, são independentes (eu acho). Pois (ii) digamos que um seletor aleatório de Poisson possa ser processado.
Desenvolvedor
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Como disse o cardeal, a independência dos processos pontuais é importante. Você pode definir facilmente dois processos de poisson dependentes cuja superposição não seria um processo de poisson; por exemplo: digamos que os pontos no processo 2 sejam exatamente iguais aos do processo 1, apenas deslocados para a direita em 1 unidade.
Karl
1
@Karl: Gosto da essência do seu exemplo, embora o segundo processo não seja exatamente um processo de Poisson, pois a probabilidade de uma chegada em[0,1)é zero no segundo caso. :)
cardeal
3
@ cardinal - eu estava pensando nos processos Point no plano completo.
Karl

Respostas:

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Para responder a essa pergunta, precisamos de um pouco de histórico e notação. Na terminologia geral, vamosN denota um processo pontual no plano, o que significa que, para qualquer conjunto de Borel, A, no avião, N(A)é um valor inteiro (incluindo ) variável aleatória, que conta o número de pontos em . Além disso, é uma medida para cada realização do processo de ponto .+AAN(A)N

Associada ao processo pontual está a medida de expectativa onde a expectativa é sempre bem definida, pois

Aμ(A):=E(N(A))
N(A)0, mas talvez +. É deixado como um exercício verificar seμé novamente uma medida. Para evitar problemas técnicos, vamos supor queμ(R2)<, o que também é razoável se o processo realmente residir apenas em um conjunto limitado, como a caixa na figura que o OP postou. Implica queN(A)< como para todos A.

As definições e observações a seguir seguem.

  • Dizemos que Ntem intensidade λ E se μ tem densidade λ com a medida de Lebesgue, isto é, se
    μ(A)=Aλ(x)dx.
  • E se N1 e N2são processos de dois pontos, definimos a superposição como a somaN1+N2. Isso é equivalente à sobreposição de um padrão de pontos em cima do outro.
  • E se N1 e N2 são processos de dois pontos (independentes ou não) com intensidades λ1 e λ2 então a superposição tem intensidade λ1+λ2.
  • E se N1 e N2Como processos independentes de Poisson, a superposição é um processo de Poisson. Para mostrar isso, primeiro observamos queN1(A)+N2(A) é Poisson das propriedades de convolução da distribuição de Poisson e, em seguida, se A1,,Ansão disjuntos entãoN1(A1)+N2(A1),,N1(An)+N2(An)são independentes porqueN1 e N2são independentes e os processos de Poisson. Essas duas propriedades caracterizam um processo de Poisson.

Resumo I: Mostramos que sempre que um processo pontual é uma soma ou superposição de processos pontuais com intensidades, a superposição tem como intensidade a soma das intensidades. Além disso, se os processos são independentes de Poisson, a superposição é Poisson.

Para a parte restante da questão, assumimos que N({x})1 como para todos os conjuntos singleton {x}. Então o processo pontual é chamado de simples. Os processos de Poisson com intensidades são simples. Para um processo pontual simples, há uma representação deN Como

N=iδXi,
isto é, como uma soma das medidas de Dirac nos pontos aleatórios. E seZi{0,1}são variáveis ​​aleatórias de Bernoulli, um desbaste aleatório é o processo pontual simples
N1=iZiδXi.
É bastante claro que, com
N2=Eu(1-ZEu)δXEu
sustenta que N=N1+N2. Se fizermos iid afinamento aleatório, o que significa que aZEusão todos independentes e distribuídos de forma idêntica com probabilidade de sucesso pdigamos então
N1(UMA)N(UMA)=nBin(n,p).
A partir disso,
E(N1(UMA))=E(E(N1(UMA)N(UMA)))=E(N(UMA)p)=pμ(UMA).

E se N é um processo de Poisson, deve ficar claro que, por disjunção A1,,An então N1(UMA1),,N1(UMAn) são novamente independentes e

P(N1(A)=k)=n=kP(N1(A)=kN(A)=n)P(N(A)=n)=eμ(A)n=k(nk)pk(1p)nkμ(A)nn!=(pμ)kk!eμ(A)n=k((1p)μ(A))nk(nk)!=(pμ(A))kk!eμ(A)+(1p)μ(A)=epμ(A)(pμ(A))kk!.
Isto mostra que N1é um processo de Poisson. Similarmente,N2 é um processo de Poisson (com medida média (1p)μ) O que resta é mostrar queN1 e N2são, de fato, independentes. Cortamos uma esquina aqui e dizemos que é realmente suficiente mostrar queN1(A) e N2(A) são independentes para arbitrário A, e isso decorre de
P(N1(A)=k,N2(A)=r)=P(N1(A)=k,N(A)=k+r)=P(N1(A)=kN(A)=k+r)P(N(A)=k+r)=eμ(A)(k+rk)pk(1p)rμ(A)k+r(k+r)!=epμ(A)(pμ(A))kk!e(1p)μ(A)((1p)μ(A))rr!=P(N1(A)=k)P(N2(A)=r).

Resumo II: Concluímos que o desbaste aleatório com probabilidade de sucessop de um processo pontual simples, Ncom intensidade λ resulta em dois processos pontuais simples, N1 e N2, com intensidades pλ e (1p)λ, respectivamente, e N é a superposição de N1 e N2. Além disso, seN é um processo de Poisson então N1 e N2 são processos independentes de Poisson.

É natural perguntar se poderíamos emagrecer independentemente, sem assumir que o Zisão identicamente distribuídos e obtêm resultados semelhantes. Isso é possível, mas um pouco mais complicado de formular, porque a distribuição deZi então tem que estar ligado ao Xide alguma forma. Por exemplo,P(Zi=1N)=p(xi) para uma determinada função p. É então possível mostrar o mesmo resultado acima, mas com a intensidadepλ significando a função p(x)λ(x). Ignoramos a prova. A melhor referência matemática geral que abrange processos de pontos espaciais é Daley e Vere-Jones . Um segundo próximo, cobrindo estatísticas e algoritmos de simulação, em particular, é Møller e Waagepetersen .

NRH
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+1 Ler esta resposta é realmente incrível e útil. Eu pessoalmente aprendi muita coisa. É uma das respostas mais completas que já recebi. Eu realmente gostei disso.
Desenvolvedor
@ Desenvolvedor, obrigado. Ainda bem que pude ajudar.
NRH 23/10/11
Isto é melhor do que um livro ...
Michael Mark
Obrigado pela sua resposta. Eu acho que você deve mencionar aqui que, para processos gerais de Point, você precisa conhecer a intensidade condicionalλ(t|Ht-)para poder caracterizar plenamente. Atualmente, o que você escreveu pode ser interpretado comoλé constante.
Sus20200
@ Sus20200, a densidade condicional, como você a escreve, é usada para processos de pontos temporais, enquanto a pergunta é sobre processos de pontos no plano sem ordem temporal. Caso contrário, concordo que é preciso ter cuidado para distinguir a intensidade determinística da intensidade condicional (ou estocástica). O primeiro especifica apenas a medida média e não toda a distribuição do processo pontual. Exceto por um processo de Poisson, que é completamente especificado por sua medida média e, portanto, pela intensidade. Observe que a intensidade não é constante, mas uma função das coordenadas espaciais.
NRH 15/06/19