Um exemplo de um estimador consistente e tendencioso?

Realmente perplexo neste. Eu realmente gostaria de um exemplo ou situação em que um estimador B fosse consistente e tendencioso.

O exemplo mais simples que consigo pensar é a variação da amostra que chega intuitivamente para a maioria de nós, a soma dos desvios quadrados divididos por $n$ vez de $n-1$ :

$$S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i-\bar{X} \right)^2$$

É fácil mostrar que $E\left(S_n^2 \right)=\frac{n-1}{n} \sigma^2$e, portanto, o estimador é enviesado. Mas assumindo a variância finita$\sigma^2$, observe que o viés vai a zero como$n \to \infty$porque

$$E\left(S_n^2 \right)-\sigma^2 = -\frac{1}{n}\sigma^2$$

Também pode ser mostrado que a variância do estimador tende a zero e, portanto, o estimador converge em quadrado médio . Portanto, é também convergente em probabilidade .

Um exemplo simples seria a estimativa do parâmetro dado n observações iid y i ~ Uniforme [ 0 $\theta > 0$$n$ .$y_i \sim \text{Uniform}\left[0, \,\theta\right]$

Vamos θ n = max { y 1 , ... , y n } . Para qualquer n finito , temos E [ θ n ] < θ (portanto, o estimador é enviesado), mas no limite será igual a θ com probabilidade um (por isso é consistente).$\hat{\theta}_n = \max\left\{y_1, \ldots, y_n\right\}$$n$$\mathbb{E}\left[\theta_n\right] < \theta$$\theta$

Considere qualquer estimador imparcial e consistente e uma sequência α n convergindo para 1 ( α n não precisa ser aleatório) e forme α n T n . É tendencioso, mas consistente, já que α n converge para 1.$T_n$$\alpha_n$$\alpha_n$$\alpha_nT_n$$\alpha_n$

Da wikipedia:

Genericamente falando, um estimador do parâmetro θ é dito ser consistente, se converge em probabilidade para o verdadeiro valor do parâmetro: plim n → $T_n$$\theta$

$$\underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\;T_n = \theta.$$

Agora, lembre-se de que o viés de um estimador é definido como:

$$\operatorname{Bias}_\theta[\,\hat\theta\,] = \operatorname{E}_\theta[\,\hat{\theta}\,]-\theta$$

O viés é de fato diferente de zero, e a convergência em probabilidade permanece verdadeira.

Em uma configuração de série temporal com uma variável dependente defasada incluída como regressor, o estimador OLS será consistente, mas tendencioso. A razão para isso é que, para mostrar imparcialidade do estimador OLS, precisamos de estrita exogeneidade, , isto é, que o termo de erro,ε t , no períodotnão está correlacionado com todos os regressores em todos os períodos de tempo. No entanto, para mostrar consistência do estimador OLS, precisamos apenas de exogeneidade contemporânea,E [ ε t | x t ] , isto é, que o termo de erro,ε t , no períodotnão está correlacionado com os regressores,x t no períodot. Considere o modelo AR (1):y t =ρy t - 1 +ε$E\left[\varepsilon_{t}\left|x_{1},\, x_{2,},\,\ldots,\, x_{T}\right.\right]$$\varepsilon_{t}$$t$$E\left[\varepsilon_{t}\left|x_{t}\right.\right]$$\varepsilon_{t}$$t$$x_{t}$$t$ com x t = y t - 1 a partir de agora.$y_{t}=\rho y_{t-1}+\varepsilon_{t},\;\varepsilon_{t}\sim N\left(0,\:\sigma_{\varepsilon}^{2}\right)$$x_{t}=y_{t-1}$

Primeiro, mostro que uma estrogenicidade estrita não se aplica a um modelo com uma variável dependente defasada incluída como regressor. Vamos olhar a correlação entre e x t + 1 = y t E [ ε t x t + 1 ] = E [ ε t y t ] = E [ ε t ( ρ y t - 1 + ε t )$\varepsilon_{t}$$x_{t+1}=y_{t}$

$$E\left[\varepsilon_{t}x_{t+1}\right]=E\left[\varepsilon_{t}y_{t}\right]=E\left[\varepsilon_{t}\left(\rho y_{t-1}+\varepsilon_{t}\right)\right]$$

$$=\rho E\left(\varepsilon_{t}y_{t-1}\right)+E\left(\varepsilon_{t}^{2}\right)$$

$$=E\left(\varepsilon_{t}^{2}\right)=\sigma_{\varepsilon}^{2}>0 \ (Eq. (1)).$$

Se assumirmos a exogeneidade seqüencial, , ou seja, que o termo de erro, ε t , no período T não está correlacionada com todos os regressores em períodos de tempo anteriores e a corrente, em seguida, o primeiro termo acima, ρ E ( ε t y t - 1 ) , desaparecerá. O que está claro a partir de cima é que, a menos que tenhamos exogeneidade estrita, a expectativa E [ ε t x t + 1 ] = E [ ε t y $E\left[\varepsilon_{t}\mid y_{1},\: y_{2},\:\ldots\ldots,y_{t-1}\right]=0$$\varepsilon_{t}$$t$$\rho E\left(\varepsilon_{t}y_{t-1}\right)$. No entanto, deve ficar claro que a exogeneidade contemporânea,E [ ε t | x t ] , aguenta.$E\left[\varepsilon_{t}x_{t+1}\right]=E\left[\varepsilon_{t}y_{t}\right]\neq0$$E\left[\varepsilon_{t}\left|x_{t}\right.\right]$

Agora, vejamos o viés do estimador OLS ao estimar o modelo AR (1) especificado acima. O estimador de OLS , ρ é dada como:$\rho$$\hat{\rho}$

$$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\left(\rho y_{t-1}+\varepsilon_{t}\right)y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=\rho+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\varepsilon_{t}y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}} \ (Eq. (2))$$

$E\left[\varepsilon_{t}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]$$Eq. (2)$

$$E\left[\hat{\rho}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]=\rho+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\left[\varepsilon_{t}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}$$

$Eq. (1)$$E\left[\varepsilon_{t}y_{t}\right]=E\left(\varepsilon_{t}^{2}\right)$$\left[\varepsilon_{t}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]\neq0$$\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\left[\varepsilon_{t}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}\neq0$$E\left[\hat{\rho}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]\neq\rho$$E\left[\hat{\rho}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]=\rho+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\left[\varepsilon_{t}\left|y_{1},\, y_{2,},\,\ldots,\, y_{T-1}\right.\right]y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=\rho+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}E\left(\varepsilon_{t}^{2}\right)y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=$$\rho+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\sigma_{\varepsilon}^{2}y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}$

$E\left[\varepsilon_{t}\left|x_{t}\right.\right]=E\left[\varepsilon_{t}\left|y_{t-1}\right.\right]=0$$E\left[\varepsilon_{t}x_{t}\right]=0$$x_{t}=y_{t-1}$$\rho$$\hat{\rho}$

$$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\left(\rho y_{t-1}+\varepsilon_{t}\right)y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=\rho+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\varepsilon_{t}y_{t-1}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}$$

$plim\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}=\sigma_{y}^{2}$$\sigma_{y}^{2}$$0<\sigma_{y}^{2}<\infty$

$T\rightarrow\infty$$p\lim\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\varepsilon_{t}y_{t-1}=E\left[\varepsilon_{t}y_{t-1}\right]=0$

$$\underset{T\rightarrow\infty}{p\lim\hat{\rho}}=\rho+\frac{p\lim\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\varepsilon_{t}y_{t-1}}{p\lim\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}^{2}}=\rho+\frac{0}{\sigma_{y}^{2}}=\rho$$

$p$$\hat{\rho}$