Ao redefinir a parametrização de uma função de probabilidade, basta apenas inserir a variável transformada em vez de mudar a fórmula das variáveis?

Suponha que eu esteja tentando redefinir uma função de probabilidade que seja exponencialmente distribuída. Se minha função de probabilidade original for:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

e eu gostaria de re-parametrizar usando , já queθnão é uma variável aleatória, mas um parâmetro, basta apenas plug-in?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

O que quero dizer explicitamente é:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Nesse caso, não tenho certeza de qual é a teoria por trás disso. Meu entendimento é que a função de verossimilhança é uma função do parâmetro, então, por que não preciso usar uma fórmula de alteração de variáveis, me confunde. Qualquer ajuda seria muito apreciada, obrigado!

$y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ $\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$