Conjunto de variáveis não correlacionadas, mas linearmente dependentes
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É possível ter um conjunto de variáveis não correlacionadas, mas linearmente dependentes?K
ie
e∑ K i = 1 a i x i = 0c o r ( xEu, xj) = 0∑Ki = 1umaEuxEu= 0
Se sim, você pode escrever um exemplo?
EDIT: Das respostas, segue-se que não é possível.
Seria pelo menos possível que que é o coeficiente de correlação estimado estimado a partir de amostras das variáveis é uma variável que não está correlacionada com .ρ n v x iP ( | ρ^xEu, xj- ρ^xEu, v| <ϵ)ρ^nvxEu
Como mostra a resposta de @ RUser4512, variáveis aleatórias não correlacionadas não podem ser linearmente dependentes. Porém, variáveis aleatórias quase não correlacionadas podem ser linearmente dependentes, e um exemplo delas é algo caro ao coração do estatístico.
Suponha que é um conjunto de K variáveis aleatórias não correlacionadas de variação unitária com μ média comum . Defina
Y i = X i - ˉ X onde ˉ X = 1{ XEu}Ki = 1KμYEu= XEu- X¯. Então,são variáveis aleatórias com média zero, tais que
, ou seja, elas são linearmente dependentes. Agora,Yi=K-1X¯= 1K∑Ki = 1XEu∑ K i = 1 Y i = 0YEu∑Ki = 1YEu= 0
modo que
var(Yi)=( K - 1
YEu= K-1KXEu-1K∑j ≠ iXj
enquanto
cov(Yi,Yj)=-2(K-1
var( YEu) = ( K- 1K)2+ K- 1K2= K- 1K
mostrando que oYisãoquaseas variáveis aleatórias não correlacionadas com o coeficiente de correlação-1
Não.
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