Conjunto de variáveis ​​não correlacionadas, mas linearmente dependentes

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É possível ter um conjunto de variáveis não correlacionadas, mas linearmente dependentes?K

ie eK i = 1 a i x i = 0cor(xi,xj)=0i=1Kaixi=0

Se sim, você pode escrever um exemplo?

EDIT: Das respostas, segue-se que não é possível.

Seria pelo menos possível que que é o coeficiente de correlação estimado estimado a partir de amostras das variáveis é uma variável que não está correlacionada com .ρ n v x iP(|ρ^xi,xjρ^xi,v|<ϵ)ρ^nvxi

Estou pensando em algo comoK>>0xK=1Ki=1K1xi K>>0

Donbeo
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Respostas:

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Como mostra a resposta de @ RUser4512, variáveis ​​aleatórias não correlacionadas não podem ser linearmente dependentes. Porém, variáveis ​​aleatórias quase não correlacionadas podem ser linearmente dependentes, e um exemplo delas é algo caro ao coração do estatístico.

Suponha que é um conjunto de K variáveis ​​aleatórias não correlacionadas de variação unitária com μ média comum . Defina Y i = X i - ˉ X onde ˉ X = 1{Xi}i=1KKμYi=XiX¯. Então,são variáveis ​​aleatórias com média zero, tais que , ou seja, elas são linearmente dependentes. Agora,Yi=K-1X¯=1Ki=1KXiK i = 1 Y i = 0Yii=1KYi=0 modo que var(Yi)=( K - 1

Yi=K1KXi1KjiXj
enquanto cov(Yi,Yj)=-2(K-1
var(Yi)=(K1K)2+K1K2=K1K
mostrando que oYisãoquaseas variáveis aleatórias não correlacionadas com o coeficiente de correlação-1
cov(Yi,Yj)=2(K1K)1K+K2K2=1K
Yi .1K1

Veja também esta minha resposta anterior .

Dilip Sarwate
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Este é um bom exemplo!
precisa saber é o seguinte
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Não.

aia1=1

K=2x1=a2x2cor(x1,x2)=1a1

Kx1=i>1aixicor(x1,xk)=1cor(x1,xk)=0aii>1a1

RUser4512
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iaixi=0iai2=0
Resposta muito boa. Seria bom se você pudesse responder também à pergunta editada.
Donbeo
vxK
cor(xK,xi)=1/K
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XY

Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00=0

X+Y=0XY

XY

Karl Ove Hufthammer
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