Como mostrar que um estimador é consistente?

É suficiente mostrar que MSE = 0 como $n\rightarrow\infty$ ? Também li em minhas anotações algo sobre plim. Como encontro o plim e o uso para mostrar que o estimador é consistente?

EDIT: corrigidos pequenos erros.

Aqui está uma maneira de fazer isso:

Um estimador de $\theta$ (vamos chamá-lo de $T_n$ ) é consistente se convergir em probabilidade para $\theta$ . Usando sua notação

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$.

Convergência em probabilidade, matematicamente, significa

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$para todos$\epsilon>0$.

A maneira mais fácil de mostrar convergência em probabilidade / consistência é invocar a Desigualdade de Chebyshev, que afirma:

.$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Portanto,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

E então você precisa mostrar que vai para 0 como n → ∞ .$E(T_n - \theta)^2$$n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : O acima exposto requer que o estimador seja pelo menos assintoticamente imparcial. Como G. Jay Kerns aponta, considere o estimador (para estimar a média μ ). T n é enviesada, tanto para finito n e assintoticamente, e V um r ( t n ) = V um r ( ˉ X n ) → 0 como n → ∞ . No entanto, T $T_n = \bar{X}_n+3$$\mu$$T_n$$n$$\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$$T_n$não é um estimador consistente de .$\mu$

EDIT 3 : Veja os pontos do cardeal nos comentários abaixo.