Como mostrar que um estimador é consistente?

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É suficiente mostrar que MSE = 0 como n ? Também li em minhas anotações algo sobre plim. Como encontro o plim e o uso para mostrar que o estimador é consistente?

Paciência
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Respostas:

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EDIT: corrigidos pequenos erros.

Aqui está uma maneira de fazer isso:

Um estimador de θ (vamos chamá-lo de Tn ) é consistente se convergir em probabilidade para θ . Usando sua notação

plimnTn=θ.

Convergência em probabilidade, matematicamente, significa

limnP(|Tnθ|ϵ)=0para todosϵ>0.

A maneira mais fácil de mostrar convergência em probabilidade / consistência é invocar a Desigualdade de Chebyshev, que afirma:

.P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2

Portanto,

P(|Tnθ|ϵ)=P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2 .

E então você precisa mostrar que vai para 0 como n .E(Tnθ)2n

EDIT 2 : O acima exposto requer que o estimador seja pelo menos assintoticamente imparcial. Como G. Jay Kerns aponta, considere o estimador (para estimar a média μ ). T n é enviesada, tanto para finito n e assintoticamente, e V um r ( t n ) = V um r ( ˉ X n ) 0 como n . No entanto, T nTn=X¯n+3μTnnVar(Tn)=Var(X¯n)0nTnnão é um estimador consistente de .μ

EDIT 3 : Veja os pontos do cardeal nos comentários abaixo.


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@ G.JayKerns A imparcialidade é desnecessária para isso. Considere . Sné um estimador tendencioso do desvio padrão, mas você pode usar o argumento acima para mostrar que é consistente. Sn=1n1i=1n(XiXn¯)2Sn
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Parece ser bom (+1); e vou excluir meus comentários anteriores.
@ G.JayKerns Seus comentários foram um complemento necessário. Devemos sempre garantir que estamos cientes das suposições em que estamos trabalhando.
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@ MikeWierzbicki: Acho que precisamos ter muito cuidado, principalmente com o que entendemos por assintoticamente imparcial . Existem pelo menos dois conceitos diferentes que geralmente recebem esse nome e é importante distingui-los. Observe que, em geral, não é verdade que um estimador consistente seja assintoticamente imparcial no sentido de que mesmo quando a média θ n = E T n existe para todos os n . Muitas pessoas chamam a convergência E T nθ de imparcialidade no limite ou ... (cont.)ETnθθn=ETnnETnθ imparcialidade aproximada
cardeal
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Obviamente, para que um estimador consistente seja enviesado no limite, a convergência em deve falhar, já que E ( T n - θ ) 2 = V a r ( T n ) + ( θ n - θ ) 2 em que θ n = E T n . L2E(Tnθ)2=Var(Tn)+(θnθ)2θn=ETn
cardeal