Erro padrão do desvio padrão da amostra de proporções

Recentemente, comecei a ler Gelman e Hill, "Análise de dados usando regressão e modelos hierárquicos / multiníveis", e a pergunta se baseia nisso:

A amostra contém 6 observações em proporções: $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{6}$

Cada tem média e variância , em que é o número de observações usadas para calcular a proporção . $p_{i}$ $\pi_{i}$ $\frac{\pi_{i}(1-\pi_{i})}{n_i}$ $n_{i}$ $p_{i}$

A estatística do teste é desvio padrão da amostra dessas proporções. $T_{i} =$

O livro diz que o valor esperado da variação da amostra das seis proporções, , é . Eu entendo tudo isso. $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{6}$ $(1/6)\sum_{i=1}^{6} \pi_{i}(1-\pi_{i})/n_{i}$

O que eu quero saber é a distribuição de e sua variação? Gostaria de saber se alguém poderia me informar o que é ou me orientar para um livro ou artigo que contenha essas informações. $T_{i}$

Muito obrigado.

distributions binomial standard-deviation Curious2learn
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Não tenho o livro para verificar, mas a declaração sobre o valor esperado da variação da amostra me parece estranha. Certamente também deve depender da variabilidade de 's.

π_{i}

$\pi_i$

Aniko

Uma estatística de teste é um valor de pesquisa para uma distribuição como t de Student, distribuição normal, distribuição F, etc. Procure no livro e encontre o nome da distribuição para essa estatística. A variação deve estar similarmente relacionada a isso.

Carl

Ninguém gostaria de saber a distribuição de precisamente porque é muito desagradável. Isso porque as proporções são discretas - pode assumir apenas os valores e, portanto, (não deve haver nenhum índice nele) também é discreto: mas seus possíveis valores, que são numerosos, não se enquadram em uma série de intervalos uniformemente espaçados. Sua variação não é muito difícil de calcular, porque é uma função dos primeiros quatro momentos de cada um dos e esses são relativamente simples de escrever.

T_{i}

$T_i$

p_{i}

$p_i$

0 / n_{i}, 1 / n_{i}, \dots, n_{i} / n_{i}

$0/n_i, 1/n_i, \ldots, n_i/n_i$

T

$T$

p_{i}

$p_i$

whuber

@ Carl verdadeiro, e embora não seja uma resposta direta à pergunta da OP, vale a pena considerar. No entanto, às vezes distribuições exatas podem ser derivadas para estatísticas de teste, e elas podem fornecer melhores propriedades de amostra pequena dos testes correspondentes. Não espero que seja esse o caso.

AdamO 5/12

Respostas:

As distribuições exatas para as proporções são , e as proporções podem assumir os valores . A distribuição resultante do desvio padrão da amostra é uma distribuição discreta complicada. Deixando , ele pode ser escrito em sua forma mais trivial como: $p_i \text{ ~ Bin}(n_i, \pi_i)/n_i$ $p_i = 0, \frac{1}{n_i}, \frac{2}{n_i}, ..., \frac{n_i-1}{n_i}, 1$ $T$ $\boldsymbol{p} \equiv (p_1, p_2, ..., p_6)$

F_{T} (t) \equiv P (T ⩽ t) = \sum_{p \in P (t)} \prod_{i = 1}^{6} Bin (n_{i} p_{i} | n_{i}, π_{i}),

$F_T(t) \equiv \mathbb{P}(T \leqslant t) = \sum_{\boldsymbol{p \in \mathcal{P}(t)}} \prod_{i=1}^6 \text{Bin}( n_i p_i|n_i, \pi_i),$

onde é o conjunto de todos os vetores de proporção que levam a uma variação da amostra não superior a . Realmente não há como simplificar isso no caso geral. Para obter uma probabilidade exata dessa distribuição, é necessário enumerar os vetores de proporção que produzem uma variação de amostra no intervalo de interesse e somar os produtos binomiais nesse intervalo enumerado. Seria um exercício de cálculo oneroso para valores moderadamente grandes de . $\mathcal{P}(t) \equiv \{ \boldsymbol{p}| T \leqslant t \}$ $t$ $n_1, ..., n_6$

Agora, obviamente, a distribuição acima não é uma forma muito útil. Tudo o que realmente lhe diz é que você precisa enumerar os resultados de interesse e depois somar suas probabilidades. Por isso, seria incomum calcular probabilidades exatas nesse caso, e é muito mais fácil apelar para uma forma assintótica para a distribuição da variação da amostra.

Ben - Restabelecer Monica
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