Método do segundo momento, movimento browniano?

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Deixe- Bt ser um movimento browniano padrão. Seja Ej,n denotar o evento

{Bt=0 for some j12ntj2n},
e deixe
Kn=j=2n+122n1Ej,n,
que1indica a função do indicador. Existeρ>0tal que paraP{Knρ2n}ρpara todos osn? Eu suspeito que a resposta é sim; Eu tentei mexer com o método do segundo momento, mas não foi muito útil. Isso pode ser mostrado com o método do segundo momento? Ou devo tentar outra coisa?
Aluna
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Primeiro, se sua soma não for: pois seu evento sugere que a taxa de crescimento de K n é 2 n, portanto, seria de esperar que sua soma tivesse 2 n + 1 termos , não?
Kn=j=2n+12n+1
Kn2n2n+1
Grant Izmirlian

Respostas:

1

Não é a resposta, mas possivelmente uma reformulação útil

Suponho que o comentário feito acima esteja correto (ou seja, a soma tem termos).2n+1

Denotar Observe que p n ( ρ 1 ) > p n ( ρ 2 ) se ρ 1 < ρ 2

pn(ρ)=P(Kn>ρ2n)=P(Kn/2n>ρ)
pn(ρ1)>pn(ρ2)ρ1<ρ2

Primeiro ponto: se você perguntar se existe para todos n, você precisa mostrar que para alguns δ o limite é positivo lim n p n ( δ ) > 0 então, se p n ( δ ) tiver limite positivo e todos valores são positivos, deve ser separado de zero, digamos p n ( δ ) > ε . Então p n ( min ( ε , δ ) ) p n (ρδ

limnpn(δ)>0
pn(δ)pn(δ)>ε para que você tenha a propriedade desejada para ρ = min ( ε , δ ) .
pn(min(ε,δ))pn(δ)>εmin(ε,δ)
ρ=min(ε,δ)

Então, você só precisa mostrar o limite de para ser positivo.pn

Eu então investigaria a variável e seu valor esperadoKn/2n

krzmip
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