1) A composição eigend realmente não ajuda muito. É certamente mais numericamente estável do que uma fatoração de Cholesky, o que é útil se sua matriz estiver mal condicionada / quase singular / tiver um número de condição alto. Assim, você pode usar a composição de eigend e ela fornecerá uma solução para o seu problema. Mas há pouca garantia de que será a solução CERTA . Honestamente, quando você inverte explicitamente , o dano já está feito. A formação de X T Σ - 1 X apenas torna as coisas piores. A composição do eigend ajudará você a vencer a batalha, mas a guerra certamente está perdida.ΣXTΣ- 1X
2) Sem saber as especificidades do seu problema, é isso que eu faria. Em primeiro lugar, realizar uma fatoração de Cholesky sobre de modo que Σ = L L T . Em seguida, realizar um fatoração QR em G - 1 X de modo a que L - 1 X = Q R . Por favor, certifique-se de computar L - 1 X utilizando a substituição para a frente - NÃO explicitamente invertido L . Então você obtém:
X T Σ - 1 X = X T ( LΣΣ = L LTeu- 1Xeu- 1X= Q Reu- 1Xeu
A partir daqui, você pode resolver qualquer lado direito que desejar. Mas, novamente, por favor, não explicitamente invertidoR(ouRTR). Use substituições para frente e para trás, conforme necessário.
XTΣ- 1X======XT( L LT)- 1XXTeu- Teu- 1X( L- 1X)T( L- 1X)( Q R )TQ RRTQTQ TRTR
RRTR
BTW, estou curioso sobre o lado direito da sua equação. Você escreveu que é . Tem certeza de que não é X T Σ - 1 Y ? Porque, se fosse, você poderia usar um truque semelhante no lado direito:
X T Σ - 1 Y = X T ( L L T ) - 1 YXTΣ YXTΣ- 1Y
E então você pode entregar o golpe de misericórdia ao resolverβ:
X T Σ - 1 X β = X T Σ - 1 Y R T R β = R T Q T L - 1 Y R β = Q T L - 1 Y β = R - 1 Q T L
XTΣ- 1Y=====XT( L LT)- 1YXTeu- Teu- 1Y( L- 1X)Teu- 1Y( Q R )Teu- 1YRTQTeu- 1Y
β
Claro, você nunca inverteria explicitamente
Rpara a etapa final, certo? Isso é apenas uma substituição para trás. :-)
XTΣ- 1XβRTR βR ββ====XTΣ- 1YRTQTeu- 1YQTeu- 1YR- 1QTeu- 1Y
R