Qual é a autocorrelação para uma caminhada aleatória?

Parece que é realmente alto, mas isso é contra-intuitivo para mim. Alguém pode me explicar? Estou muito confuso com esta questão e gostaria de receber uma explicação detalhada e perspicaz. Muito obrigado antecipadamente!

(Eu escrevi isso como resposta a outro post, que foi marcado como duplicado deste enquanto eu o escrevia; achei que o postaria aqui em vez de jogá-lo fora. Parece que diz coisas muito semelhantes às do whuber's resposta, mas é apenas diferente o suficiente para que alguém possa tirar algo disso.)

Uma caminhada aleatória tem a forma$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Observe que$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Portanto, .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Observe também que$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Conseqüentemente .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Ou seja, você deve ver uma correlação de quase 1, porque assim que começa a ficar grande, e são quase exatamente a mesma coisa - a diferença relativa entre eles tende a ser bastante pequena.$t$$y_t$$y_{t-1}$

Você pode ver isso mais facilmente plotando vs .$y_t$$y_{t-1}$

Agora podemos vê-lo de forma intuitiva - imagine desceu para (como vemos na simulação de uma caminhada aleatória com o termo padrão de ruído normal). Então, estará bem próximo de ; pode ser ou mas é quase certo que esteja dentro de algumas unidades de . Assim, à medida que a série sobe e desce, o gráfico de vs quase sempre fica dentro de uma faixa bastante estreita da linha ... mas à medida que cresce, os pontos cobrem mais e trechos maiores ao longo desse$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$line (a propagação ao longo da linha cresce com , mas a propagação vertical permanece aproximadamente constante); a correlação deve se aproximar de 1.$\sqrt{t}$

No contexto da sua pergunta anterior , uma "caminhada aleatória" é uma realização de uma caminhada aleatória binomial. Autocorrelação é a correlação entre o vetor e o vetor dos próximos elementos .$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

A própria construção de uma caminhada aleatória binomial faz com que cada seja diferente de cada por uma constante. $x_{i+1}$$x_i$ Depois de percorrer a caminhada por um tempo, os valores de se afastaram do valor inicial e, portanto, geralmente cobrem uma boa faixa, geralmente proporcional a de comprimento. Assim, o gráfico de dispersão lag-1 dos pares consistirá em pontos situados apenas nas linhas , estando, em média, próximos da linha . Os resíduos serão próximos a$x_i$$x_0$ (xi,x i + 1 )y=x±1y=x±11($\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$. Portanto, na grande maioria das realizações, a variação dos resíduos (cerca de ) em comparação com a variação dos valores (aproximadamente na ordem de ) será pequena . Esperamos que seja aproximadamente$1$R$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

Aqui está uma imagem de etapas em uma caminhada aleatória (à esquerda) e seu gráfico de dispersão lag-1 (à direita). O código de cores é usado para ajudá-lo a encontrar pontos correspondentes nas duas plotagens. Observe que está muito próximo de neste caso.R 2 1 - 4 /$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

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Aqui está o Rcódigo que produziu as imagens.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))