Seja o CDF da variável aleatória , para que o CDF inverso possa ser escrito . Em sua integral, faça a substituição , para obterX F - 1 p = F ( x ) d p = F ′ ( x ) d x = f ( x ) d xFXF−1p=F(x)dp=F′(x)dx=f(x)dx
∫10F−1(p)dp=∫∞−∞xf(x)dx=EF[X].
Isso é válido para distribuições contínuas. Deve-se tomar cuidado com outras distribuições porque um CDF inverso não possui uma definição única.
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Quando a variável não é contínua, ela não possui uma distribuição absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue, exigindo cuidados na definição do CDF inverso e cuidados na computação de integrais. Considere, por exemplo, o caso de uma distribuição discreta. Por definição, é aquele cujo CDF é uma função de etapa com etapas de tamanho em cada valor possível .FPrF(x)x
Esta figura mostra o CDF de uma distribuição de Bernoulli dimensionada por . Ou seja, a variável aleatória tem uma probabilidade de igual a e uma probabilidade de de igual a . As alturas dos saltos em e dão suas probabilidades. A expectativa dessa variável é evidentemente igual a .(2/3)21/302/32020×(1/3)+2×(2/3)=4/3
Poderíamos definir um "CDF inverso" exigindoF−1
F−1(p)=x if F(x)≥p and F(x−)<p.
Isso significa que também é uma função de etapa. Para qualquer valor possível da variável aleatória, atingirá o valor em um intervalo de comprimento . Portanto, sua integral é obtida somando os valores , que é apenas a expectativa.F−1xF−1xPrF(x)xPrF(x)
Este é o gráfico do CDF inverso do exemplo anterior. Os saltos de e no CDF tornam-se linhas horizontais desses comprimentos em alturas iguais a e , valores a cujas probabilidades correspondem. (O CDF inverso não está definido além do intervalo .) Sua integral é a soma de dois retângulos, um da altura e base , o outro da altura e base , totalizando , como antes.1/32/302[0,1]01/322/34/3
Em geral, para uma mistura de uma distribuição contínua e uma discreta, precisamos definir o CDF inverso para paralelizar essa construção: a cada salto discreto de altura , devemos formar uma linha horizontal de comprimento conforme indicado pela fórmula anterior.pp
Um resultado equivalente é bem conhecido na análise de sobrevivência : a vida útil esperada é onde a função de sobrevivência é medida desde o nascimento em . (Ele pode ser facilmente estendido para cobrir valores negativos de .)
Portanto, podemos reescrever isso como mas isso é como mostrado em várias reflexões da área em questão
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Estamos avaliando:
Vamos tentar com uma simples mudança de variável:
E notamos que, por definição de PDF e CDF:
quase em todos os lugares. Assim, por definição do valor esperado, temos:
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Para qualquer variável aleatória com valor real com cdf , é sabido que tem a mesma lei que quando é uniforme em . Portanto, a expectativa de , sempre que existe, é a mesma que a de : A representação vale para um cdf geral , considerando como o inverso contínuo à esquerda de no caso em que não é invertível.X F F−1(U) X U (0,1) X F−1(U) X ∼ F - 1 ( U ) F F - 1 F F
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Observe que é definido como e é uma função contínua à direita. é definido como O faz sentido por causa da continuidade correta. Seja uma distribuição uniforme em . Você pode facilmente verificar se tem o mesmo CDF como , que é . Isso não requer que o seja contínuo. Portanto, . A integral é a integral de Riemann – StieltjesF(x) P(X≤x) F−1
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