Distribuição da diferença entre duas distribuições normais

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Eu tenho duas funções de densidade de probabilidade de distribuições normais:

f1(x1|μ1,σ1)=1σ12πe(xμ1)22σ12

e

f2(x2|μ2,σ2)=1σ22πe(xμ2)22σ22

Estou procurando a função de densidade de probabilidade da separação entre e . Acho que isso significa que estou procurando a função de densidade de probabilidade de. Isso está correto? Como eu acho isso?x 2 | x 1 - x 2 |x1x2|x1x2|

Martijn
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Se este é um dever de casa, use a self-studyetiqueta. Aceitamos perguntas de trabalhos de casa, mas as tratamos um pouco diferente aqui.
shadowtalker
Além disso, eu não quero ser "esse cara", mas você tentou o Google? "Diferença entre distribuições normais" me encontrou uma resposta praticamente imediatamente.
shadowtalker
@ssdecontrol não, não lição de casa, mas é para um projeto de hobby, por isso não me importo de ter que descobrir algumas coisas se for colocado no caminho certo. Eu tentei o google, mas minha compreensão sobre o assunto é tão limitada que eu provavelmente não o reconheceria se estivesse bem na minha frente. com aspas, encontrei muitas coisas semelhantes a "qual é a diferença entre uma distribuição normal ex" para alguns x.
Martijn

Respostas:

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Esta pergunta pode ser respondida como declarado apenas assumindo que as duas variáveis ​​aleatórias e governadas por essas distribuições são independentes. X 2X1X2 Isso faz a diferença Normal com média e variação . (A solução a seguir pode ser facilmente generalizada para qualquer distribuição normal bivariada de .) Assim, a variável μ= μ 2 - μ 1 σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 ( X 1 , X 2 )X=X2X1μ=μ2μ1σ2=σ12+σ22(X1,X2)

Z=Xμσ=X2X1(μ2μ1)σ12+σ22

tem uma distribuição normal padrão (ou seja, com média zero e variação unitária) e

X=σ(Z+μσ).

A expressão

|X2X1|=|X|=X2=σ(Z+μσ)2

exibe a diferença absoluta como uma versão escalada da raiz quadrada de uma distribuição qui-quadrado não central com um grau de liberdade e parâmetro de não centralidade . Uma distribuição qui-quadrado não central com esses parâmetros possui um elemento de probabilidadeλ=(μ/σ)2

f(y)dy=y2πe12(λy)cosh(λy)dyy, y>0.

Escrever para estabelece uma correspondência um-para-um entre e sua raiz quadrada, resultando em x > 0 yy=x2x>0y

f(y)dy=f(x2)d(x2)=x22πe12(λx2)cosh(λx2)dx2x2.

Simplificar isso e depois redimensionar fornece a densidade desejada,σ

f|X|(x)=1σ2πcosh(xμσ2)exp(x2+μ22σ2).

Este resultado é suportado por simulações, como este histograma de 100.000 desenhos independentes de(chamado "x" no código) com os parâmetros . Nele é plotado o gráfico de , que coincide com os valores do histograma.μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 f | X ||X|=|X2X1|μ1=1,μ2=5,σ1=4,σ2=1f|X|

Figura

O Rcódigo para esta simulação segue.

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)
whuber
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Como isso seria diferente se eu quisesse obter a diferença ao quadrado? Por exemplo, se eu quiser ? (f1(.)f2(.))2
user77005
1
@ user77005 A resposta está no meu post: é uma distribuição qui-quadrado não central. Siga o link para detalhes.
whuber
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Estou fornecendo uma resposta que é complementar à do @whuber no sentido de ser o que um não estatístico (ou seja, alguém que não sabe muito sobre distribuições não centrais do qui-quadrado com um grau de liberdade, etc.) possa escrever, e que um neófito poderia seguir com relativa facilidade.

Tomando emprestada a suposição de independência e a notação da resposta do whuber , que e . Assim, para , e, é claro, para . Segue-se a diferenciação em relação a que Z=X1X2N(μ,σ2)μ=μ1μ2σ2=σ12+σ22x0

F|Z|(x)P{|Z|x}=P{xZx}=P{x<Zx}since Z is a continuous random variable=FZ(x)FZ(x),
F|Z|(x)=0x<0x
f|Z|(x)xF|Z|(x)=[fZ(x)+fZ(-x)]1(0 0,)(x)=[exp(-(x-μ)22σ2)σ2π+exp(-(x+μ)22σ2)σ2π]1(0 0,)(x)=exp(-x2+μ22σ2)σ2π(exp(xμσ2)+exp(xμσ2))1(0 0,)(x)=1σ2πcosh(xμσ2)exp(-x2+μ22σ2)1(0 0,)(x)
que é exatamente o mesmo resultado da resposta do whuber, mas chegou de maneira mais transparente.
Dilip Sarwate
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1
+1 Sempre gosto de ver soluções que funcionam com os princípios e suposições mais básicos possíveis.
whuber
1

A distribuição de uma diferença de duas variáveis ​​normalmente distribuídas X e Y também é uma distribuição normal, assumindo que X e Y sejam independentes (obrigado Mark pelo comentário). Aqui está uma derivação: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html

Aqui você está perguntando a diferença absoluta, com base na resposta do whuber e se assumirmos que a diferença na média de X e Y é zero, é apenas uma distribuição meio normal com duas vezes a densidade (obrigado Dilip pelo comentário).

yuqian
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Você e Wolfram Mathworld estão implicitamente assumindo que as 2 distribuições normais (variáveis ​​aleatórias) são independentes. A diferença não é mesmo necessariamente distribuída normalmente se as 2 variáveis aleatórias normais não são bivariada normal, o que pode acontecer se eles não são independentes ..
Mark L. Stone
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Além da suposição apontada por Mark, você também está ignorando o fato de que os meios são diferentes. O caso meio normal funciona apenas quando modo que a diferença tenha a média . 0μ1=μ20 0
Dilip Sarwate
Obrigado por seus comentários. Agora revisei minha resposta com base nos seus comentários e na resposta do whuber.
Yuqian