O teorema de Slutsky ainda é válido quando duas seqüências convergem para uma variável aleatória não degenerada?

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Estou confuso sobre alguns detalhes sobre o teorema de Slutsky :

Seja {Xn} , duas sequências de elementos aleatórios escalares / vetor / matriz.{Yn}

Se convergir na distribuição para um elemento aleatório e convergir em probabilidade para uma constante , desde que seja invertível, em que denota convergência na distribuição. X Y n c X n + Y n d X + c X n Y n d c X X n / Y n d X / c , c dXnXYnc

Xn+Yn d X+cXnYn d cXXn/Yn d X/c,
cd

Se ambas as seqüências no teorema de Slutsky convergem para uma variável aleatória não degenerada, o teorema ainda é válido e, se não (alguém poderia dar um exemplo?), Quais são as condições extras para torná-lo válido?

Nicolas H
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Respostas:

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O teorema de Slutsky não se estende a duas seqüências convergindo em distribuições para uma variável aleatória. Se Yn converge em distribuição para Y , Xn+Yn pode falhar a convergir ou pode convergir para algo mais do que X+Y .

Por exemplo, se Yn=Xn para todos os n 's, Xn+Yn não converge para a diferença de dois RV com mesma distribuição que X .

Outro contra-exemplo é que, quando as seqüências e { Y n } são independentes e ambas convergem na distribuição para uma variável N ( 0 , 1 ) normal , se se define X 1N ( 0 , 1 ) e X 2 = - X 1 , então X n d X 1 Y n d X 2 X{Xn}{Yn}N(0,1)X1N(0,1)X2=X1 Vejaa resposta de Davidepara obter mais detalhes sobre este exemplo.

Xn d X1Yn d X2Xn+Yn d X1+X2=0
Xi'an
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Para que isso se estenda, você precisa de algo mais, como independência.
Kjetil b halvorsen
Estou certo ao pensar que, se ambas as seqüências convergem para uma constante, o Slutsky ainda se aplica porque uma constante é um caso especial (degenerado) de um RV?
passe metade
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@ meia passagem: isso está correto.
Xian
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Suponha que é um vetor centrado gaussiano cuja matriz de covariância é ( 1 ρ ρ 1 ) com | p | 1 . Defina X n : = X 0 e Y n : = Y 0 para n 1 . Então X nX e Y nY , onde X e Y(X0,Y0)(1ρρ1)|ρ|1Xn:=X0Yn:=Y0n1XnXYnYXYXn+Yn2+2ρX+YXn+YnX+Y

XnXYnYX+YXn+YnX+Y

Obviamente, tudo ficará bem se na distribuição (por exemplo, se X n for independente de Y n e X de Y. Em geral, só podemos afirmar que a sequência ( X n + Y n ) n 1 é apertado (ou seja, para cada positivo ε , podemos encontrar R tal que sup n P { | X n(Xn,Yn)(X,Y)XnYnXY(Xn+Yn)n1εRsupnP{|Xn+Yn|>R}<ε(nk)k1(Xnk+Ynk)k1Z

(Xn)n1(Yn)n1σ[0,2](nk)k1(Xnk+Ynk)k1N(0,σ2)

(rj)[1,1]τ:NN2nτ1({j})×N(Xn,Yn)(1rjrj1)σ

Davide Giraudo
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