Teorema de Bayes com múltiplas condições

Não entendo como essa equação foi derivada.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Esta equação foi do artigo "Trial by Probability", onde o caso de OJ Simpson foi dado como um exemplo de problema. O réu está sendo julgado por duplo assassinato e duas evidências são apresentadas contra ele.

é o evento em que o sangue do réu corresponde a uma gota de sangue encontrada na cena do crime. é o evento de sangue da vítima corresponde sangue em uma meia pertencentes ao requerido. Assumindo culpa, a ocorrência de uma evidência aumenta a probabilidade da outra. é o evento um réu é inocente enquanto é quando ele é culpado. $M_{1}$ $M_{2}$ $I$ $I'$

Estamos tentando entender a probabilidade de o réu ser inocente, dadas as duas evidências.

Foram fornecidos valores para algumas variáveis, mas o que me interessa é como a equação foi derivada. Eu tentei, mas não cheguei a lugar nenhum.

Sim, já verifiquei as 'Perguntas que já podem ter sua resposta'.

bayesian conditional-probability bayes Sakurabe
fonte

Qual é o significado de

? É

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

Xian

@ Xi'an sim

em outra notação

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

Sakurabe

Pelo Teorema de Bayes: Agora, o artigo que você forneceu argumenta que

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Se for verdade, então e são independentes. Mas, assumindo a culpa, a ocorrência de um aumentaria a probabilidade do outro. $I$ $M_1$ $M_2$

Então e

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ Eu) = P (M_{1} ∣ Eu) P (M_{2} ∣ Eu), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

Portanto,

\begin{matrix} 2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ {Eu}^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap {Eu}^{'}) P (M_{2} ∣ {Eu}^{'}) \geq P (M_{1} ∣ {Eu}^{'}) P (M_{2} ∣ {Eu}^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (Eu ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (Eu) P (M_{1} ∣ Eu) P (M_{2} ∣ Eu)}{P (Eu) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ Eu) + P ({Eu}^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ {Eu}^{'})} & (Substitua por (1)) \\ \leq \frac{P (Eu) P (M_{1} ∣ Eu) P (M_{2} ∣ Eu)}{P ({Eu}^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ {Eu}^{'})} & (Menor denominador) \\ \leq \frac{P (Eu)}{P ({Eu}^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ Eu) P (M_{2} ∣ Eu)}{P (M_{1} ∣ {Eu}^{'}) P (M_{2} ∣ {Eu}^{'})} . & (Substitua por 2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

Derivar $\eqref{eq2}$ , Nota

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ {Eu}^{'})}{P (M_{2} ∣ {Eu}^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap {Eu}^{'}) / P ({Eu}^{'})}{P (M_{2} \cap {Eu}^{'}) / P ({Eu}^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap {Eu}^{'})}{P (M_{2} \cap {Eu}^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap {Eu}^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$ e desde a ocorrência de

M_{2}

$M_2$ aumentaria a probabilidade de

M_{1}

$M_1$ :

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap {Eu}^{'}) \geq P (M_{1} ∣ {Eu}^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

Francis
fonte

Quero primeiro agradecer por você ter ajudado. Mas ainda estou um pouco confuso. Você poderia adicionar números de equações e indicar onde aplicar equações anteriores em substituições posteriores? As coisas estão começando a fazer sentido, mas eu ainda não entendo a desigualdade depois do 'e', e a parte em que você substitui no denominador e a coisa toda se torna uma desigualdade. Estou supondo que uma explicação sobre como o argumento citado do artigo seja traduzido matematicamente ajudaria. Obrigado novamente!

Sakurabe

@Sakurabe: melhor?

27415 Francis

Ok, agora entendi como as evidências se reforçam. Última pergunta, acabamos de largar

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$ do denominador? Como em gota sem um teorema ou algo assim? Quero dizer, faz algum sentido, uma vez que não reverteria a desigualdade resultante de (2), além disso, é também o que eu assumi que eles fizeram em um exemplo anterior no artigo envolvendo apenas uma evidência de DNA (com +1 no denominador ) Obrigado, eu realmente aprecio sua ajuda.

Sakurabe

@Sakurabe: Sim, porque esse termo não é negativo, então, descartá-lo diminuirá o denominador.

31415 Francis

Teorema de Bayes com múltiplas condições

Respostas: