Teorema de Bayes com múltiplas condições

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Não entendo como essa equação foi derivada.

P(I|M1M2)P(I)P(I)P(M1|I)P(M2|I)P(M1|I)P(M2|I)

Esta equação foi do artigo "Trial by Probability", onde o caso de OJ Simpson foi dado como um exemplo de problema. O réu está sendo julgado por duplo assassinato e duas evidências são apresentadas contra ele.

é o evento em que o sangue do réu corresponde a uma gota de sangue encontrada na cena do crime. M 2 é o evento de sangue da vítima corresponde sangue em uma meia pertencentes ao requerido. Assumindo culpa, a ocorrência de uma evidência aumenta a probabilidade da outra. I é o evento um réu é inocente enquanto eu ' é quando ele é culpado.M1M2II

Estamos tentando entender a probabilidade de o réu ser inocente, dadas as duas evidências.

Foram fornecidos valores para algumas variáveis, mas o que me interessa é como a equação foi derivada. Eu tentei, mas não cheguei a lugar nenhum.

Sim, já verifiquei as 'Perguntas que já podem ter sua resposta'.

Sakurabe
fonte
Qual é o significado de ? É I c ? IIc
Xian
@ Xi'an sim é I c em outra notaçãoIIc
Sakurabe

Respostas:

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Pelo Teorema de Bayes: Agora, o artigo que você forneceu argumenta que

P(IM1M2)=P(I)P(M1M2I)P(M1M2)=P(I)P(M1M2I)P(I)P(M1M2I)+P(I)P(M1M2I).

Se for verdade, então M 1 e M 2 são independentes. Mas, assumindo a culpa, a ocorrência de um aumentaria a probabilidade do outro.EuM1M2

Então e P ( M 1M 2I ' ) = P ( M 1M 2I ' ) = P ( M 1M 2I ') ) P ( H 2 | I ' ) P

(1)P(M1M2Eu)=P(M1Eu)P(M2Eu),
Portanto, P ( I M 1M 2 )
2)P(M1M2Eu)=P(M1M2Eu)P(M2Eu)P(M1Eu)P(M2Eu).
P(EuM1M2)=P(Eu)P(M1Eu)P(M2Eu)P(Eu)P(M1M2Eu)+P(Eu)P(M1M2Eu)(Substitua por (1))P(Eu)P(M1Eu)P(M2Eu)P(Eu)P(M1M2Eu)(Menor denominador)P(Eu)P(Eu)P(M1Eu)P(M2Eu)P(M1Eu)P(M2Eu).(Substitua por 2))

Derivar 2), Nota

P(M1M2Eu)P(M2Eu)=P(M1M2Eu)/P(Eu)P(M2Eu)/P(Eu)=P(M1M2Eu)P(M2Eu)=P(M1M2Eu)
e desde a ocorrência de M2 aumentaria a probabilidade de M1:
P(M1M2Eu)P(M1Eu)
Francis
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2
Quero primeiro agradecer por você ter ajudado. Mas ainda estou um pouco confuso. Você poderia adicionar números de equações e indicar onde aplicar equações anteriores em substituições posteriores? As coisas estão começando a fazer sentido, mas eu ainda não entendo a desigualdade depois do 'e', ​​e a parte em que você substitui no denominador e a coisa toda se torna uma desigualdade. Estou supondo que uma explicação sobre como o argumento citado do artigo seja traduzido matematicamente ajudaria. Obrigado novamente!
Sakurabe
@Sakurabe: melhor?
27415 Francis
Ok, agora entendi como as evidências se reforçam. Última pergunta, acabamos de largarP(Eu)P(M1M2|Eu)do denominador? Como em gota sem um teorema ou algo assim? Quero dizer, faz algum sentido, uma vez que não reverteria a desigualdade resultante de (2), além disso, é também o que eu assumi que eles fizeram em um exemplo anterior no artigo envolvendo apenas uma evidência de DNA (com +1 no denominador ) Obrigado, eu realmente aprecio sua ajuda.
Sakurabe
@Sakurabe: Sim, porque esse termo não é negativo, então, descartá-lo diminuirá o denominador.
31415 Francis