Qual é o momento de uma variável aleatória conjunta?

Pergunta simples, mas surpreendentemente difícil encontrar uma resposta online.

Eu sei que para um RV , definimos o k-ésimo momento como onde a igualdade se segue se , para uma densidade e Medida de Lebesgue .$X$

$$\int X^k \ d P = \int x^k f(x) \ dx$$ $p = f \cdot m$$f$$m$

Então, qual é o quinto momento de, digamos, ? realmente não parece a resposta para mim ....∫ ( X , Y ) d $(X,Y)$$\int (X,Y) \ d P$

Não existe um "o" em relação aos momentos, pois existem muitos deles, mas os momentos das variáveis ​​bivariadas são indexados por dois índices, não um.

Então, em vez de momento, você tem momentos, (às vezes escrito quando isso não é ambíguo). Podemos falar de , o momento ou , o momento ou , e assim por diante.μ k ( j , k ) μ j , k μ j k μ 1 , 1 ( 1 , 1 ) μ 1 , 2 ( 1 , 2 ) μ 2 , $k$$\mu_k$$(j,k)$$\mu_{j,k}$$\mu_{jk}$$\mu_{1,1}$$(1,1)$$\mu_{1,2}$$(1,2)$$\mu_{2,2}$

Às vezes, esses são chamados momentos mistos.

Então, generalizando seu exemplo contínuo unidimensional,

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

Isso generaliza para dimensões mais altas.

Como @ Glen_b ♦ mencionou, momento generalizado para cruzada momento (relacionar conceitos: função geradora de momento comum , função característica comum e cumulante ) em dimensões superiores.

Dito isto, para mim, essa definição não parece equivalente ao momento univariado, porque o momento cruzado é avaliado como um número real, mas, por exemplo, para um vetor normal multivariado, a média é um vetor e a variância é uma matriz . I especular que se pode definir de dimensão superior "momentos" usando derivados da função característica comum , aqui as derivadas são generalizadas usando tensores de classificação (então a derivada de segunda ordem seria uma matriz Hessiana).$\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$$k$

Existem muitos outros tópicos relacionados interessantes, como: Medidas de assimetria multivariada e curtose com aplicações .