A função delta de Dirac deve ser considerada uma subclasse da distribuição gaussiana?

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No Wikidata, é possível vincular distribuições de probabilidade (como todo o resto) em uma ontologia, por exemplo, que a distribuição t é uma subclasse da distribuição t não central, veja, por exemplo,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Existem vários casos limitantes, por exemplo, quando os graus de liberdade na distribuição t chegam ao infinito ou quando a variância se aproxima de zero para a distribuição normal (distribuição gaussiana). Neste último caso, a distribuição irá para a função delta do Dirac.

Observo que, na Wikipedia em inglês, o parâmetro variance atualmente é declarado maior que zero; portanto, com uma interpretação estrita, não se poderia dizer que a função delta do Dirac é uma subclasse da distribuição normal. No entanto, para mim, parece bastante razoável, pois eu diria que a distribuição exponencial é uma superclasse da função delta do Dirac.

Há algum problema em afirmar que a função delta de Dirac é uma subclasse da distribuição gaussiana?

Finn Årup Nielsen
fonte
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Se dirac delta é uma subclasse de gaussiana, sua curtose deve ser 3, certo?
Aksakal
Acho que se considerarmos o delta do Dirac como uma subclasse de várias distribuições de probabilidade, a curtose é inconsistente para o delta do Dirac. Fala contra o delta do Dirac como uma subclasse de qualquer uma dessas distribuições.
Finn Årup Nielsen 8/09/16
No contexto de probabilidade, o delta é descrito como uma função generalizada. Não é sou função comum
Aksakal

Respostas:

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O delta de Dirac é considerado como uma distribuição gaussiana quando é conveniente fazê-lo, e não é assim quando esse ponto de vista exige que façamos exceções.

Por exemplo, desfrutam de uma distribuição gaussiana multivariada se é uma variável aleatória gaussiana para todas as opções de números reais . (Nota: esta é uma definição padrão nas estatísticas "avançadas"). Como uma opção é , a definição padrão trata a constante (uma variável aleatória degenerada) como uma variável aleatória gaussiana (com média e variância ). Por outro lado, ignoramos nossa consideração pelo delta do Dirac como uma distribuição gaussiana quando consideramos algo comoΣ i um i X i um 1 , um 2 , ... , um n um 1 = um 2 = = um n = 0 0 0(X1,X2,,Xn)iaiXia1,a2,,ana1=a2==an=000

"A função cumulativa de distribuição de probabilidade (CDF) de uma variável aleatória gaussiana de média zero com desvio padrão é onde é o CDF de uma variável aleatória gaussiana padrão ".F X ( x ) = P { X x } = Φ ( xσΦ()

FX(x)=P{Xx}=Φ(xσ)
Φ()

Observe que esta afirmação está quase certa, mas não totalmente certa, se considerarmos o delta Dirac como o caso limitador de uma sequência de variáveis ​​aleatórias gaussianas de média zero cujo desvio padrão se aproxima de (e, portanto, como uma variável aleatória gaussiana). O CDF do delta Dirac tem o valor para enquanto01x0

limσ0Φ(xσ)={0,x<0,12,x=0,1,x>0.
Mas muitas pessoas dirão a você que considerar um delta do Dirac como uma distribuição gaussiana é um absurdo, já que o livro deles diz que a variação de uma variável aleatória gaussiana deve ser um número positivo (e algumas delas votarão negativamente nesta resposta para mostrar seu descontentamento). Houve uma discussão muito vigorosa e esclarecedora desse ponto há alguns anos sobre stats.SE, mas infelizmente foi apenas nos comentários de uma resposta (por @Macro, acredito) e não como respostas individuais, e não consigo encontrá-lo novamente .
Dilip Sarwate
fonte
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+1. Não tenho certeza de que haja um problema relacionado ao CDF, porque acredito que o valor limitador de uma sequência de CDFs a qualquer salto do limite não importa. Existem duas maneiras de ver isso. Uma é notar que sua fórmula limitadora não é um CDF válido (não é cadlag). Outra é notar que você obtém uma distribuição Dirac em quando deixa simultaneamente, mas pode conseguir o valor limite de estar entre e (ou não ter limite nenhum). 0(μ,σ)(0,0)Φμ,σ(0)01
whuber
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A conversa que você mencionou aconteceu nos comentários desta resposta , embora sinceramente espero que para a maioria dos leitores a discussão não pareça muito vigorosa. (+1)
cardeal
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@ cardinal Profundo conhecimento da nossa comunidade. Bem feito!
Matthew Drury
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As funções delta se encaixam em uma teoria matemática das distribuições (que é bem distinta da teoria das distribuições de probabilidade , a terminologia aqui não poderia ser mais confusa).

Essencialmente, distribuições são funções generalizadas. Eles não podem ser avaliados como uma função, mas podem ser integrados. Mais precisamente, uma distribuição é definida da seguinte formaD

Seja a coleção de funções de teste . Uma função de teste é uma função verdadeira, honesta para com Deus, suave, com suporte compacto. Uma distribuição é um mapeamento linearTθD:TR

Uma função honesta determina uma distribuição pelo operador de integraçãof

T(θ)=+f(x)θ(x)dx

Existem distribuições que não estão associadas a funções verdadeiras, o operador dirac é um deles

δ(θ)=θ(0)

Nesse sentido, você pode considerar o dirac como um caso limitador das distribuições normais. Se é a família de PDFs de distribuições normais com média zero e variância , então para qualquer função de testeNttθ

θ(0)=limt0+Nt(x)θ(x)dx

Provavelmente, isso é mais comumente expresso como

θ(0)=+δ(x)θ(x)dx=limt0+Nt(x)θ(x)dx

que um matemático consideraria um abuso de notação, porque a expressão não faz realmente nenhum sentido. Mas, novamente, quem sou eu para criticar Dirac, quem é o melhor.δ(x)

Obviamente, se isso faz do dirac um membro da família de distribuições normais é uma questão cultural. Aqui, estou apenas dando uma razão para que faça sentido considerá-lo assim.

Matthew Drury
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Embora eu concorde com suas declarações, acho que isso implica o contrário. Uma função delta não é um subconjunto de gaussianos. Assim como um limite de funções contínuas não precisa ser uma função contínua.
seanv507
@ seanv507 Eu fiz o meu melhor para não declarar uma conclusão de qualquer maneira!
Matthew Drury
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Eu pensei que as distribuições são muito parecidos com distribuições de probabilidade, com uma distribuição de Dirac delta (probabilidade) indicando uma variável determinística ...
user541686
Se você não escrever os limites das integrais, elas poderão ser confundidas com integrais indefinidas. Além disso, esta frase não faz sentido: "Uma função de teste θ é uma função verdadeira, honesta com Deus, suave, com suporte compacto".
ogogmad 7/09/16
@jkabrg Por que não faz sentido? Desde que escrevi, é difícil para mim ver que não faz sentido.
Matthew Drury
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Não. Não é uma subclasse de distribuição normal.

Eu acho que a confusão vem de uma das representações da função Dirac. Lembre-se de que está definido da seguinte forma:

δ(x)dx=1
δ(x)=0,x0

É definido como uma integral, o que é ótimo, mas às vezes você precisa operacionalizá-lo por uma representação de função, e não por uma integral. Assim, as pessoas criaram todos os tipos de alternativas, uma delas se parece com a densidade gaussiana:

δ(x)=limσ0ex22σ22πσ

No entanto, essa não é a única representação , por exemplo, existe esta:

δ(x)=12πk=eikx,x(π,π)

Portanto, é melhor pensar na função Dirac em termos de sua definição integral e tomar as representações da função, como gaussianas, como ferramentas de conveniência.

ATUALIZAÇÃO Para o ponto de @ whuber, um exemplo melhor é essa representação do delta de Dirac:

δ(x)=limσ0e|x|σ2σ

Isso se parece com a distribuição da Lapônia para você? Não deveríamos considerar o delta de Dirac como uma subclasse da distribuição laplaciana?

Aksakal
fonte
Em algum momento desta resposta, você parece mudar de discutir distribuições para discutir "funções". A questão se refere explicitamente a "distribuições de probabilidade". Geralmente, essas não são dadas por funções de densidade, mas sempre podem ser dadas por sua função de distribuição. A distribuição de um átomo - o "delta do Dirac" - se encaixa perfeitamente com todas as outras distribuições gaussianas como um caso limitante. (Na configuração de Matthew Drury, é definido como esse limite!) Seu argumento parece semelhante a afirmar que, digamos, círculos não são elipses. A imposição de tais exceções não parece construtiva.
whuber
@ whuber, o que é "distribuição de um átomo"?
Aksakal
Um "átomo" é um pedaço de probabilidade em um único ponto. Equivalentemente, é a distribuição de qualquer variável aleatória constante em quase todos os lugares.
whuber
@ Whuber, Oh, eu estava pensando em um átomo físico. Não, meu ponto é que delta de Dirac não é uma subclasse de Gaussian, porque pode ser representado também por Laplacian como distros
Aksakal
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Re: seu ponto de vista sobre as distribuições da Laplace. Assim como um quadrado é um retângulo e um losango, e a distribuição Uniform é um caso especial de uma distribuição Uniform e uma distribuição Beta , uma distribuição pode pertencer a várias famílias de distribuições nomeadas. De fato, as distribuições delta pertencem a todas as famílias em escala de local e pelo menos uma distribuição delta pertence a todas as famílias em escala. Geometricamente, as famílias são curvas em um espaço de distribuições; uma dada distribuição é um ponto; e (obviamente) qualquer ponto pode pertencer a muitas curvas. (0,1)(0,θ)(α,β)
whuber