A função delta de Dirac deve ser considerada uma subclasse da distribuição gaussiana?

No Wikidata, é possível vincular distribuições de probabilidade (como todo o resto) em uma ontologia, por exemplo, que a distribuição t é uma subclasse da distribuição t não central, veja, por exemplo,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Existem vários casos limitantes, por exemplo, quando os graus de liberdade na distribuição t chegam ao infinito ou quando a variância se aproxima de zero para a distribuição normal (distribuição gaussiana). Neste último caso, a distribuição irá para a função delta do Dirac.

Observo que, na Wikipedia em inglês, o parâmetro variance atualmente é declarado maior que zero; portanto, com uma interpretação estrita, não se poderia dizer que a função delta do Dirac é uma subclasse da distribuição normal. No entanto, para mim, parece bastante razoável, pois eu diria que a distribuição exponencial é uma superclasse da função delta do Dirac.

Há algum problema em afirmar que a função delta de Dirac é uma subclasse da distribuição gaussiana?

O delta de Dirac é considerado como uma distribuição gaussiana quando é conveniente fazê-lo, e não é assim quando esse ponto de vista exige que façamos exceções.

Por exemplo, desfrutam de uma distribuição gaussiana multivariada se é uma variável aleatória gaussiana para todas as opções de números reais . (Nota: esta é uma definição padrão nas estatísticas "avançadas"). Como uma opção é , a definição padrão trata a constante (uma variável aleatória degenerada) como uma variável aleatória gaussiana (com média e variância ). Por outro lado, ignoramos nossa consideração pelo delta do Dirac como uma distribuição gaussiana quando consideramos algo comoΣ i um i X i um 1 , um 2 , ... , um n um 1 = um 2 = ⋯ = um n = 0 0 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

"A função cumulativa de distribuição de probabilidade (CDF) de uma variável aleatória gaussiana de média zero com desvio padrão é onde é o CDF de uma variável aleatória gaussiana padrão ".F X ( x ) = P { X ≤ x } = Φ ( $\sigma$Φ(⋅

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

Observe que esta afirmação está quase certa, mas não totalmente certa, se considerarmos o delta Dirac como o caso limitador de uma sequência de variáveis ​​aleatórias gaussianas de média zero cujo desvio padrão se aproxima de (e, portanto, como uma variável aleatória gaussiana). O CDF do delta Dirac tem o valor para enquanto$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Mas muitas pessoas dirão a você que considerar um delta do Dirac como uma distribuição gaussiana é um absurdo, já que o livro deles diz que a variação de uma variável aleatória gaussiana deve ser um número positivo (e algumas delas votarão negativamente nesta resposta para mostrar seu descontentamento). Houve uma discussão muito vigorosa e esclarecedora desse ponto há alguns anos sobre stats.SE, mas infelizmente foi apenas nos comentários de uma resposta (por @Macro, acredito) e não como respostas individuais, e não consigo encontrá-lo novamente .

As funções delta se encaixam em uma teoria matemática das distribuições (que é bem distinta da teoria das distribuições de probabilidade , a terminologia aqui não poderia ser mais confusa).

Essencialmente, distribuições são funções generalizadas. Eles não podem ser avaliados como uma função, mas podem ser integrados. Mais precisamente, uma distribuição é definida da seguinte forma$D$

Seja a coleção de funções de teste . Uma função de teste é uma função verdadeira, honesta para com Deus, suave, com suporte compacto. Uma distribuição é um mapeamento linear$T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Uma função honesta determina uma distribuição pelo operador de integração$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

Existem distribuições que não estão associadas a funções verdadeiras, o operador dirac é um deles

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

Nesse sentido, você pode considerar o dirac como um caso limitador das distribuições normais. Se é a família de PDFs de distribuições normais com média zero e variância , então para qualquer função de teste$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

Provavelmente, isso é mais comumente expresso como

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

que um matemático consideraria um abuso de notação, porque a expressão não faz realmente nenhum sentido. Mas, novamente, quem sou eu para criticar Dirac, quem é o melhor.$\delta(x)$

Obviamente, se isso faz do dirac um membro da família de distribuições normais é uma questão cultural. Aqui, estou apenas dando uma razão para que faça sentido considerá-lo assim.

Não. Não é uma subclasse de distribuição normal.

Eu acho que a confusão vem de uma das representações da função Dirac. Lembre-se de que está definido da seguinte forma:

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

É definido como uma integral, o que é ótimo, mas às vezes você precisa operacionalizá-lo por uma representação de função, e não por uma integral. Assim, as pessoas criaram todos os tipos de alternativas, uma delas se parece com a densidade gaussiana:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

No entanto, essa não é a única representação , por exemplo, existe esta:

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

Portanto, é melhor pensar na função Dirac em termos de sua definição integral e tomar as representações da função, como gaussianas, como ferramentas de conveniência.

ATUALIZAÇÃO Para o ponto de @ whuber, um exemplo melhor é essa representação do delta de Dirac:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

Isso se parece com a distribuição da Lapônia para você? Não deveríamos considerar o delta de Dirac como uma subclasse da distribuição laplaciana?