Exemplos reais da diferença entre independência e correlação

É sabido que a independência de variáveis ​​aleatórias implica correlação zero, mas a correlação zero não precisa implicar independência.

Encontrei muitos exemplos matemáticos que demonstram dependência, apesar da correlação zero. Existem exemplos da vida real para apoiar esse fato?

Os retornos das ações são um exemplo decente da vida real do que você está pedindo. Existe uma correlação muito próxima de zero entre o retorno do S&P 500 de hoje e de ontem. No entanto, existe uma dependência clara: retornos quadrados são positivamente correlacionados automaticamente; períodos de alta volatilidade são agrupados no tempo.

Código R:

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

As séries temporais do log retornam no S&P 500:

Se os retornos fossem independentes ao longo do tempo (e estacionários), seria muito improvável ver esses padrões de volatilidade em cluster e você não veria a autocorrelação nos retornos quadrados de log.

Outro exemplo é a relação entre estresse e notas em um exame. A relação é uma forma inversa de U e a correlação é muito baixa, embora a causa pareça bastante clara.