Distribuição de tipo normal sobre uma área delimitada

Existe uma distribuição que se assemelha à distribuição gaussiana (normal), mas tal que sua densidade de probabilidade seja diferente de zero apenas em um segmento definido.

A questão surgiu quando tentei modelar o 'spread de bala' dentro de um círculo. A distribuição gaussiana funciona bem, mas sempre há uma chance de que a bala atinja fora do círculo. Então, eu gostaria de encontrar uma distribuição muito semelhante à gaussiana, mas com propriedade de que a probabilidade fora do segmento definido (ou círculo) é zero.

EDIT: Sim, na verdade eu quero dizer um disco, não um círculo. EDIT: E sim, eu preciso apenas de uma distribuição unidimensional (ao longo do raio de um disco) que será simétrica circular (não depende do ângulo).

Você pode usar uma distribuição normal truncada. É apenas uma distribuição normal que você considera apenas um intervalo. Você precisa redimensioná-lo para garantir que o pdf seja integrado a 1. Mas isso me parece exatamente o que você está procurando.

A distribuição VonMises é semelhante à normal, mas é usada com dados circulares e é definida apenas no intervalo de um círculo (0-360 graus ou 0-2pi radianos).

A distribuição Beta é definida de 0 a 1 (mas pode ser dimensionada para outros intervalos), com os parâmetros iguais, é simétrica e, para muitos valores, em forma de sino.

Essa é uma pergunta antiga, mas ainda é relevante para novos leitores. Estou surpreso que ninguém tenha mencionado a distribuição do Raised Cosine .

Com o parâmetro e spread ele é perfeitamente delimitado em e sua função de densidade de probabilidade (PDF) também possui uma curva em forma de sino.$\mu$$s$$[\mu - s, \mu + s]$

+1 para a resposta de amostragem por rejeição.

Você também pode experimentar a distribuição Beta, onde $\alpha$(aka shape1) é 1 e$\beta \gt 1$(aka shape2)? Isso é definido em [0,1], então multiplique pelo raio do disco e você terá zero de probabilidade de selecionar pontos no raio ou mais.

As vantagens incluem: a) existe uma probabilidade nula de selecionar uma distância maior ou igual ao raio eb) você pode fazer amostragem direta e não coisas como amostragem por rejeição.

As desvantagens incluem: a) é inquieto perto de 0 eb) a distribuição não é "muito semelhante" à gaussiana. (É muito mais alto perto de 0 - ou seja, no centro - do que o gaussiano, embora isso possa realmente ser o que o OP deseja.)

Parece que o que se procura é uma distribuição uniforme em um disco, que considerarei ser o interior do círculo unitário. Podemos parametrizar por$(r,\theta)$ então nós temos $0 \le r \le 1$ e $0 \le \theta \le 2\pi$. Nós podemos deixar$\theta$ distribuição uniforme, independente de $R$e deve encontrar a distribuição de $R$que fornece uma distribuição uniforme no círculo. Como a probabilidade deve ser proporcional à área, temos por$0 \le a \le b \le 1$ aquele

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$$ e tomando $a=0$, $b=1$ dá $F_R(r)= r^2$. Então a densidade é a derivada$f_R(r)=2r$. A densidade articular de$R$ e $\theta$ então se torna $$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$$ Isso é fácil de simular, a soma de dois uniformes independentes tem uma distribuição triangular (e simétrica), às vezes descrita como uma distribuição de "barraca". Queremos apenas a parte esquerda da barraca, que podemos obter espelhando a distribuição em uma linha vertical no topo (modo) da barraca. Simular isso em R fornece:

O código R para a simulação é:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Observe que este é um caso especial da resposta antiga de @Greg Snow, pois a distribuição "esquerda" é uma distribuição beta com parâmetros $a=2, b=1$. Mas o código acima para simulá-lo é provavelmente mais rápido que o código geral para simular a partir de uma versão beta (ou seria, se programado em C).