No CLT, por que

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Deixe- X1,...,Xn são observações independentes de uma distribuição que tem a média μ e a variância σ2< , quando n , então

nX¯nμσN(0,1).

Por que isso implica que

X¯nN(μ,σ2n)?
mavavilj
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Talvez isso não tenha sido enfatizado claramente o suficiente abaixo, mas a afirmação é matematicamente significativo e verdadeiro enquanto a afirmação
nX¯nμσN(0,1)
é matematicamente absurdo, portanto, como diz o ditado,nem mesmo errado.
X¯nN(μ,σ2n)
Será que

Respostas:

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Sua interpretação está um pouco incorreta. O Teorema Central do Limite (CLT) implica que

X¯napproxN(μ,σ2n).

Isso ocorre porque o CLT é um resultado assintótico e, na prática, estamos lidando apenas com amostras finitas. No entanto, quando o tamanho da amostra é grande o suficiente, assumimos que o resultado do CLT é verdadeiro na aproximação e, portanto,

nX¯nμσapproxN(0,1)nX¯nμσ.σnapproxσnN(0,1)X¯nμapproxN(0,σ2n)X¯nμ+μapproxμ+N(0,σ2n)X¯napproxN(μ,σ2n).

Isso ocorre porque para uma variável aleatória e constantes a , b , Var ( a X ) = a 2 Var ( X ) (usada na segunda etapa) e E ( b + X ) = b + E ( X ) , Var ( b + X ) = Var ( X ) (usado no segundo último passo).Xa,bVar(aX)=a2Var(X)E(b+X)=b+E(X)Var(b+X)=Var(X)

Leia isso para obter mais explicações sobre a álgebra.

Greenparker
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Você poderia esclarecer qual "álgebra" você está usando ao levar os termos do LHS de para o RHS?
mavavilj
Eu esclareci a álgebra. A maior parte está usando propriedades de variação e expectativa.
Greenparker
Por que não, por exemplo, o segundo termo de tornam-seN(μ,μ+σ2N(μ,σ2n)? N(μ,μ+σ2n)
mavavilj
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Porque . Intuitivamente, adicionar um número constante a uma variável aleatória não altera sua variação. Vumar(umaX+b)=uma2Vumar(X)
Greenparker
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A maneira mais fácil de ver isso é observando a média e a variação da variável aleatória .X¯n

Então, N(0 0,1 1) afirma que a média é zero e a variação é uma. Portanto, temos como média:

UsandoE[umx+b]=umaE[X]+b, ondeum,bsão constantes, obtém-se: ˉ X nu

E[nX¯n-μσ]0 0
E[umax+b]=umaE[x]+buma,b
X¯nμ

Agora, usando , onde a , bVar[umax+b]=uma2Var[x]=uma2σx2uma,b são constantes, obtemos o seguinte para a variação:

Var[nX¯n-μσ]1 1
Var[X¯n]σ2n

X¯nN(μ,σ2n)

X¯nN(μ,σ2n)

N(μ,σ2n)nN(0 0,1 1)

Aksakal
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X¯nn(X¯n-μ)/στZ+μ(μ,τ2)Z(0 0,1 1)

MτZ+μ(t)=MZ(τt)Mμ(t)=et2τ2/2etμ=et2τ2/2+tμ

(μ,τ2)

dsaxton
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Por que a função de geração de momento prova isso para a distribuição?
mavavilj
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Isso é resultado da probabilidade. Se duas variáveis ​​aleatórias têm a mesma função geradora de momento, elas são iguais em distribuição.
dsaxton