Existe uma distribuição em forma de platô?

Estou procurando uma distribuição em que a densidade de probabilidade diminua rapidamente após algum ponto da média ou, em minhas próprias palavras, uma "distribuição em forma de platô".

Algo entre o gaussiano e o uniforme.

Você pode estar procurando por uma distribuição conhecida sob os nomes de distribuição normalizada generalizada (versão 1) , Subbotin ou distribuição de energia exponencial. É parametrizado por localização , escala e forma com pdf$\mu$$\sigma$$\beta$

como você pode notar, para ele se assemelha e converge para a distribuição Laplace, com converge para o normal e quando para distribuição uniforme.β = 2 β = $\beta=1$$\beta=2$$\beta = \infty$

Se você está procurando um software que o tenha implementado, pode verificar a normalpbiblioteca para R (Mineo e Ruggieri, 2005). O que é legal nesse pacote é que, entre outras coisas, implementa a regressão com erros distribuídos normalmente generalizados, ou seja, minimizando a norma .$L_p$

Mineo, AM e Ruggieri, M. (2005). Uma ferramenta de software para a distribuição exponencial de energia: O pacote normalp. Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-24.

O comentário do @ StrongBad é uma sugestão muito boa. A soma de um VR uniforme e de um RV gaussiano pode fornecer exatamente o que você está procurando se escolher os parâmetros corretamente. E na verdade tem uma solução de formulário fechado razoavelmente agradável.

O pdf desta variável é dado pela expressão:

$a$ é o "raio" do VR uniforme com média zero. é o desvio padrão do VR gaussiano com média zero.$\sigma$

Há um número infinito de distribuições "em forma de platô".

Você buscava algo mais específico do que "entre o gaussiano e o uniforme"? Isso é um tanto vago.

Aqui está uma pergunta fácil: você sempre pode colocar uma meia-normal em cada extremidade de um uniforme:

Você pode controlar a "largura" do uniforme em relação à escala do normal, para ter platôs mais largos ou mais estreitos, fornecendo toda uma classe de distribuições, que incluem o gaussiano e o uniforme como casos limitantes.

A densidade é:

$\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu+w/2)^2} \mathbb{I}_{x\leq \mu-w/2} \\ + \:\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma}\quad\mathbb{I}_{\mu-w/2< x\leq \mu+w/2} \\ + \frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-w/2)^2} \mathbb{I}_{x > \mu+w/2}$

$h = \frac{1}{1 + w/(\sqrt{2\pi}\sigma)}$

$\sigma \to 0$$w$$(\mu-w/2,\mu+w/2)$$w \to 0$$\sigma$$N(\mu,\sigma^2)$

$\mu=0$

Talvez possamos chamar essa densidade de "uniforme de cauda gaussiana".

Veja minha distribuição da "Torre do Diabo" aqui [1]:

$f(x) = 0.3334$$|x| < 0.9399$
$f(x) = 0.2945/x^2$$0.9399 \leq |x| < 2.3242$
$f(x) = 0$$2.3242 \leq |x|$

A distribuição "slip-dress" é ainda mais interessante.

É fácil construir distribuições com o formato que você deseja.

[1]: Westfall, PH (2014)
"Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. RIP"
Alt. Stat. 68 (3): 191-195. doi: 10.1080 / 00031305.2014.917055
acesso público pdf: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/pdf/nihms-599845.pdf

$f(x)$

Onde:

• $a$
• $k$$k = \frac{a}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{2 a}\right)$

$a$

.

$a$

Outro ( EDIT : simplifiquei agora. EDIT2 : simplifiquei ainda mais, embora agora a imagem não reflita realmente esta equação exata):

$\log(\cosh(x))$$x$

$alpha$$a = 2$$b = 1$

Aqui está um exemplo de código em R:

f = function(x, a, b, alpha){
  y = log((cosh(2*alpha*pi*a)+cosh(2*alpha*pi*x))/(cosh(2*alpha*pi*b)+cosh(2*alpha*pi*x)))
  y = y/pi/alpha/6
  return(y)
}

fé a nossa distribuição. Vamos traçá-lo para uma sequência dex

plot(0, type = "n", xlim = c(-5,5), ylim = c(0,0.4))
x = seq(-100,100,length.out = 10001L)

for(i in 1:10){
  y = f(x = x, a = 2, b = 1, alpha = seq(0.1,2, length.out = 10L)[i]); print(paste("integral =", round(sum(0.02*y), 3L)))
  lines(x, y, type = "l", col = rainbow(10, alpha = 0.5)[i], lwd = 4)
}
legend("topright", paste("alpha =", round(seq(0.1,2, length.out = 10L), 3L)), col = rainbow(10), lwd = 4)

Saída do console:

#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = NaN" #I suspect underflow, inspecting the plots don't show divergence at all
#[1] "integral = NaN"
#[1] "integral = NaN"

E trama:

Você poderia alterar ae b, aproximadamente o início e o fim da inclinação, respectivamente, mas seria necessária mais normalização, e eu não a calculei (é por isso que estou usando a = 2e b = 1no gráfico).

Se você está procurando algo muito simples, com um platô central e os lados de uma distribuição triangular, pode, por exemplo, combinar distribuições de triângulo N, N dependendo da proporção desejada entre o platô e a descida. Por que triângulos, porque suas funções de amostragem já existem na maioria dos idiomas. Você escolhe aleatoriamente um deles.

Em R isso daria:

library(triangle)
rplateau = function(n=1){
  replicate(n, switch(sample(1:3, 1), rtriangle(1, 0, 2), rtriangle(1, 1, 3), rtriangle(1, 2, 4)))
}
hist(rplateau(1E5), breaks=200)

Aqui está uma bonita: o produto de duas funções logísticas.

(1/B) * 1/(1+exp(A*(x-B))) * 1/(1+exp(-A*(x+B)))

Isso tem o benefício de não ser por partes.

B ajusta a largura e A ajusta a inclinação da queda. Abaixo, são mostrados B = 1: 6 com A = 2. Nota: Não tomei tempo para descobrir como normalizar isso corretamente.