Estimando a média e o desvio padrão de uma curva gaussiana truncada sem pico

Suponha que eu tenha uma caixa preta que gera dados após uma distribuição normal com média me desvio padrão s. Suponha, no entanto, que sempre que ele gera um valor <0, ele não registra nada (nem pode dizer que ele emitiu esse valor). Temos uma distribuição gaussiana truncada sem um pico.

Como posso estimar esses parâmetros?

O modelo para seus dados seria:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Assim, a função de densidade é:

Onde,

$\phi(.)$ é o cdf normal padrão.

Você pode estimar os parâmetros e usando os métodos de máxima verossimilhança ou bayesiano.$\mu$$\sigma$

Como Srikant Vadali sugeriu, Cohen e Hald resolveram esse problema usando ML (com um localizador de raízes Newton-Raphson) por volta de 1950. Outro artigo é "Estimation in the Truncated Normal Distribution" de Max Halperin, disponível no JSTOR (para aqueles com acesso). Pesquisar no Google "estimativa gaussiana truncada" produz muitos acertos úteis.

Os detalhes são fornecidos em um encadeamento que generaliza essa pergunta (para distribuições truncadas em geral). Consulte Estimadores de probabilidade máxima para uma distribuição truncada . Também podem ser de interesse para comparar os estimadores de máxima probabilidade, para a solução Máxima Entropia dado (com código) em Max entropia Solver em R .

Com uma borda técnica de TB para uma abordagem simplificada de H. Schneider é muito útil para calcular a média e o desvio padrão da distribuição normal truncada:μ t σ $a=0$$\mu_t$$\sigma_t$

1. calcule a média e o desvio padrão (população inteira!) para o conjunto de dados:$\mu$$\sigma$

   $\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

   $\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

2. verifique se a borda técnica tem uma distância válida para a média :$TB=a=0$$\bar{x}$

   consideração de não é necessária quando$TB = a$$\bar{x} \le 3s$

3. calcular e :$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$$Q(\omega)$

   $\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

   $P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

   $P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

   $Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$

4. verifique se , caso contrário, a média é que não é útil tecnicamente$\omega \le 0,57081$$\mu_t$$<0$

5. calcule e para a distribuição normal truncada:$\mu_t$$\sigma_t$

   $\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

   $\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Isso é tudo...