Ainda outra questão do teorema do limite central

Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes de Bernoulli com Defina Mostre que converge na distribuição para a variável normal padrão pois tende ao infinito.P { X k = 1 } = 1 - P { X k = 0 } = $\{X_n:n\ge1\}$Sn= n ∑ k=1(Xk-

$$P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$$ S $$S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$$ Z$\frac{S_n}{B_n}$$Z$$n$

Minha tentativa é usar o Lyapunov CLT, portanto, precisamos mostrar que existe um tal que, $\delta>0$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$$

Então defina $\delta=1$

$$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$$ e $$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$$

Ao avaliar n's grandes no computador, ele mostra como $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ e $B_n^3 \to \infty$ como $n \to \infty$ . Mas $B_n^3$ aumenta mais rápido que $B_n^2$ então $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ . Alguém pode me ajudar a provar que essa convergência é válida?

Pode ser instrutivo demonstrar esse resultado a partir dos primeiros princípios e resultados básicos , explorando propriedades das funções geradoras cumulantes (exatamente como nas provas padrão do Teorema do Limite Central). Isso requer que entendamos a taxa de crescimento de números harmônicos generalizados para Essas taxas de crescimento são bem conhecidas e facilmente obtidas por comparação com as integrais : elas convergem para e divergem logaritmicamente para . s = 1

$$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$$ ∫ n 1 X - s d x s > 1 s = $s=1, 2, \ldots.$$\int_1^n x^{-s}dx$$s \gt 1$$s=1$

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Seja e . Por definição, a função de geração cumulativa (cgf) de é1 ≤ k ≤ n ( X k - 1 / k ) / B $n \ge 2$$1 \le k \le n$$(X_k - 1/k)/B_n$

$$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$$

A expansão em série do lado direito, obtida a partir da expansão de torno de , assume a formaz = $\log(1+z)$$z=0$

$$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$$

Os numeradores das frações são polinômios em com o termo inicial . Como a expansão do log converge absolutamente para , essa expansão converge absolutamente quando$k$$k^{j-1}$$\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

$$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$$

(No caso de , convergir para todos os lugares.) Para valores fixos de e crescentes de , a divergência (óbvia) de implica que o domínio da convergência absoluta se torna arbitrariamente grande. Assim, para qualquer fixo e suficientemente grande , esta expansão converge absolutamente.$k=1$$k$$n$$B_n$$t$$n$

Para suficientemente grande , então, podemos, portanto, somar o indivíduo sobre termo por termo em potências de para obter o cgf de ,$n$$\psi_{k,n}$$k$$t$$S_n/B_n$

$$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$$

Assumir os termos nas somas sobre um de cada vez exige que avaliemos expressões proporcionais a$k$

$$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$$

para e . Usando os assintóticos dos números harmônicos generalizados mencionados na introdução, segue-se facilmente de$j \ge 3$$s=1, 2, \ldots, j$

$$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$$

naquela

$$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$$

e (para )$s \gt 1$

$$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$$

como cresce. Consequentemente, todos os termos na expansão de além de convergem para zero, de onde converge para para qualquer valor de . Como a convergência do cgf implica a convergência da função característica, concluímos pelo Teorema da Continuidade de Levy que aproxima de uma variável aleatória cujo cgf é 2/2 : essa é a variável normal padrão, QED .$n$$\psi_n(t)$$t^2$$\psi_n(t)$$t^2/2$$t$$S_n/B_n$$t^2/2$

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Essa análise revela quão delicada é a convergência: enquanto em muitas versões do Teorema do Limite Central o coeficiente de é (para ), aqui o coeficiente é somente : a convergência é muito mais lenta.Neste sentido, a sequência de variáveis ​​padronizadas "apenas um pouco" se torna Normal.$t^j$$O(n^{1-j/2})$$j \ge 3$$O(((\log(n))^{1-j/2})$

Podemos ver essa lenta convergência em uma série de simulações. Os histogramas exibem iterações independentes para quatro valores de . As curvas vermelhas são gráficos de funções de densidade normal padrão para referência visual. Embora exista evidentemente uma tendência gradual à normalidade, mesmo em (onde ainda é considerável), permanece uma não normalidade considerável, como evidenciado na assimetria (igual a nesta amostra). (Não é surpresa que a assimetria desse histograma esteja próxima de , porque é exatamente isso que é o termo no cgf.) n n = $10^5$$n$$n=1000$$(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$$0.35$$(\log(n))^{-1/2}$$t^3$

Aqui está o Rcódigo para aqueles que gostariam de experimentar ainda mais.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Você já tem uma ótima resposta. Se você também deseja concluir sua própria prova, pode argumentar da seguinte maneira:

Como converge para todos e diverge para ( aqui ), podemos escrever$\sum_{k=1}^n 1/k^i$$i>1$$i = 1$

$$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$$

Pelo mesmo argumento,

$$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$$

Conseqüentemente, e, portanto,$S(n) / B_n^2 = O(1)$

$$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$$

que é o que queríamos mostrar.

Primeiro, suas variáveis ​​aleatórias não serão distribuídas de forma idêntica se as distribuições dependerem de ;)$k$

Também não usaria sua notação como:$B_n$

• letras maiúsculas são geralmente reservadas para variáveis ​​aleatórias.
• é apenas a soma das variações, então eu usaria uma notação envolvendo um símbolo para tornar isso óbvio.$\sigma$

Então, com relação à pergunta, não sei se isso é um exercício ou pesquisa e quais ferramentas você pode usar. Se você não está tentando provar novamente os teoremas conhecidos, eu diria que é um teorema do limite central para RV independente, não identicamente distribuído, mas uniformemente limitado, e o chame de um dia. Não tenho uma boa fonte em mãos, mas não deve ser muito difícil encontrar uma, por exemplo, consulte /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- para aleatório-limitado-não-identicamente-distribuído .

Edit: Meu mal, é claro que a condição uniformemente limitada não é suficiente, você também precisa

$$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$$