Existe outra interpretação para uma distribuição gama com parâmetro de forma não inteiro?

É sabido que uma variável aleatória sendo Gamma distribuída com o parâmetro de forma inteira é equivalente à soma dos quadrados de k variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas.$k$$k$

Mas o que posso dizer sobre uma variável aleatória distribuída gama com não inteiro ? Existe alguma outra interpretação além da distribuição Gamma?$k$

Se e Y ∼ G ( β , 1 ) são independentes, então X + Y ∼ G ( α $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$ Em particular, se X ∼ G ( α , 1 ) , ele é distribuído com a mesma distribuição que X 1 + ⋯ + X n ∼ G ( α ,

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ para qualquer n ∈ N . (Essa propriedade é chamada dedivisibilidade infinita.) Isso significa que, se X ∼ G ( α , 1 $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ quando não for um número inteiro, X terá a mesma distribuição que Y + Z com Z independente de Y e Y ∼ G ( ⌊ α ⌋ , 1 $\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ Também implica que as formas com valor inteiro α não têm significado particular para Gammas. $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ $\alpha$

Por outro lado, se com α < 1 , ela tem a mesma distribuição que Y U 1 / α quando Y é independente de U ∼ U ( 0 $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$