diferença intuitiva entre probabilidade conjunta e probabilidade condicional neste exemplo

Eu estava lendo um tutorial sobre densidades marginais quando me deparei com este exemplo (reformulado).

Uma pessoa está atravessando a rua e queremos calcular a probabilidade de ser atropelado por um carro que passava, dependendo da cor do semáforo.

Seja H se a pessoa é atingida ou não, e L seja a cor do semáforo.

Então, e .$H = \{\text{hit, not hit} \}$$L = \{\text{red, yellow, green} \}$

A probabilidade de ser atingido, dado que a luz é vermelha, pode ser escrita como: . Claramente, essa é uma probabilidade condicional.$P(H = \text{hit}| L = \text{red})$

A probabilidade de ser atingido, independentemente da luz, pode ser escrita como: . Isso é marginal, como entendi recentemente.$P(H = \text{hit})$

Como você pode dizer: . Esta é uma probabilidade conjunta. Como você o traduz para uma sentença de leigo? Como é diferente de "A probabilidade de ser atingido E a luz é vermelha"?$P(H,L)$

Obrigado por suas idéias.

Você realmente teve sua resposta ali mesmo.

$P(H=hit)$ é a probabilidade marginal. Lê "A probabilidade de ser atingido". É a proporção de pessoas que foram atingidas atravessando a rua, independentemente do semáforo.

$P(H=hit|L=red)$ é a probabilidade condicional. Lê "A probabilidade de você ser atingido, dado que a luz é vermelha". É a proporção de acertos entre as pessoas que atravessam a rua em sinal vermelho.

Finalmente, é a probabilidade conjunta. Lê "a probabilidade de uma pessoa ser atropelada por um carro e que a luz é vermelha". É a proporção de acertos na luz vermelha entre todas as pessoas.$P(H=hit, L=red)$

Você certamente conhece o relacionamento

$P(H=hit, L=red) = P(H=hit | L=red) * P(L=red)$

Na "linguagem dos leigos", podemos ver o seguinte. Suponha que a probabilidade de ter uma luz vermelha seja extremamente pequena, mas que as pessoas sempre sejam atingidas ao atravessar a luz vermelha. Vamos supor que você é um observador ao lado da rua. Você verá pessoas sendo atingidas e raramente verá a luz ficar vermelha. De todas as pessoas que atravessam a rua, a chance de serem atingidas no sinal vermelho é muito pequena, pois quase nunca têm essa oportunidade ( é pequena porque o sinal vermelho é raro). No entanto, se você observar o suficiente, verá as pessoas sendo atingidas no sinal vermelho e perceberá que sempre que o sinal estiver vermelho, as pessoas que atravessam a rua serão atingidas com certeza ( )$P(H=hit,L=red)$$P(H=hit|L=red)=1$

$H$ e são variáveis ​​aleatórias. assume um valor em e assume um valor em . Neste exemplo, a distribuição em conjunto dá a probabilidade de duas coisas tanto acontecimento: que tem um valor particular e tem um valor particular . Você também pode escrever isso como . Para obter a probabilidade de uma combinação particular, você conecta valores para e . Por exemplo,$L$$H$$\{ \text{hit, not hit} \}$$L$$\{ \text{red, yellow, green} \}$$P(H, L)$$H$$h$$L$$l$$P(H=h \text{ and } L=l)$$h$$l$$P(H=\text{hit}, L=\text{red})$ é a probabilidade de a pessoa ser atingida e a luz estar vermelha.

Você pode pensar em haver uma probabilidade total (que equivale a 1), que é como uma quantidade fixa de 'coisas' (por exemplo, um líquido). A distribuição conjunta leva este e espalha em diferentes quantidades mais de todas as combinações possíveis de valores de e .$H$$L$

Eu tentei explicar este exemplo com valores assumidos de probabilidade conjunta:

Isso é tudo sobre perspectiva. Imagine um contexto muito mais simples. Digamos que haja dois eventos diferentes A e B dentro de um espaço de evento retangular. Podemos colorir os espaços do evento em círculos verdes e azuis e a área sobreposta em vermelho. Agora, quando dizemos P (A, B) ou P (A | B), isso indica os eventos na área vermelha. Mas a perspectiva é diferente.

No caso de P (A, B), a probabilidade é (a área do espaço em vermelho) / (a ​​área de todo o retângulo)

No caso de P (A | B), a probabilidade é (a área do espaço em vermelho) / (a ​​área do círculo azul B)

Agora, imagine o cenário do tráfego. Digamos, você está contando quantos pedestres estão atravessando a rua e quantos estão sendo atropelados. Suas contagens estão seguindo,

Número de pedestres que atravessam a rua em sinais verdes, amarelos e vermelhos = X, Y, Z

Número de pedestres atropelados atravessando a rua em sinais verdes, amarelos e vermelhos = A, B, C

Agora, P (Acerto, Vermelho) = C / (X + Y + Z)

P (Hit | Red) = (C / (X + Y + Z)) / (Z / (X + Y + Z)) = C / Z

Portanto, em cada caso, é claro, você deve contar os pedestres atingidos em sinais vermelhos apenas para calcular C. Quando você conta a probabilidade P (Acerto, Vermelho), deve contar todos os pedestres em travessia. Mas quando você conta a probabilidade P (Hit | Red), você só precisa contar a travessia de pedestres, quando a luz vermelha está acesa .

Talvez haja uma explicação mais simples sem exigir equações.

Uma fração das pessoas é atingida, independentemente da cor da luz (prob marginal). Dessas pessoas atingidas, uma fração é atingida no vermelho (condicional no prob vermelho). Assim, para obter uma fração real da população total, multiplique os dois (probabilidade conjunta).

A diferença intuitiva entre os dois é:

1) Probabilidade condicional P (H = acerto | L = vermelho) - Probabilidade quando a luz estava vermelha e as pessoas foram atingidas, não considera todas as pessoas que atravessam o tráfego.

2) Probabilidade conjunta P (H = acerto, L = vermelho) - Probabilidade de as pessoas serem atingidas e a luz ser vermelha.

Diferença-chave - em 1), o espaço da amostra não é todas as pessoas, são apenas as pessoas que cruzam a luz vermelha;