Mostrar estimativa converge para percentil através de estatísticas de pedidos

Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias iid amostradas de uma distribuição alfa estável , com os parâmetros . α = 1,5 $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$$\alpha = 1.5, \; \beta = 0, \; c = 1.0, \; \mu = 1.0$

Agora considere a sequência , em que , para .$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$$Y_{j+1} = X_{3j+1}X_{3j+2}X_{3j+3} - 1$$j=0, \ldots, n-1$

Quero estimar o percentil .$0.01-$

Minha idéia é executar uma espécie de simulação de Monte-Carlo:

l = 1;
while(l < max_iterations)
{
  Generate $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ and compute $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$;
  Compute $0.01-$percentile of current repetition;
  Compute mean $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Compute variance of $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Calculate confidence interval for the estimate of the $0.01-$percentile;

  if(confidence interval is small enough)
    break;

}

Chamando a média de todos os percentis de amostra calculados como e sua variação , para calcular o intervalo de confiança apropriado para , eu recorro à forma Forte do Teorema do Limite Central :- μ n σ 2 n$0.01-$$\hat{\mu}_n$$\hat{\sigma}^{2}_{n}$$\mu$

Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias iid com e . Defina a média da amostra como . Então, tem uma distribuição normal padrão limitante, ou seja, E [ X i ] = μ 0 < V [ X i ] = σ 2 < ∞ μ n = ( 1 / n ) Σ n i = 1 X i ( μ n - μ ) / $X_1, X_2, \ldots$$E \left[ X_i \right] = \mu$$0 < V \left[ X_i \right] = \sigma^2 < \infty$$\hat{\mu}_n = (1/n) \sum_{i=1}^n X_i$μ n -$(\hat{\mu}_n - \mu) / \sqrt{\sigma^{2}/n}$

$$\frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$$

e o teorema de Slutksy para concluir que

$$\sqrt{n} \frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^{2}_{n}}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$$

Então, um - intervalo de confiança para é$(1-\alpha)\times 100\%$$\mu$

$$I_{\alpha} = \left[\hat{\mu}_n - z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} , \hat{\mu}_n + z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} \right],$$ que é o -quantil da distribuição normal padrão.$z_{1- \alpha / 2}$$(1- \alpha / 2)$

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Questões:

1) Minha abordagem está correta? Como posso justificar a aplicação do CLT? Quero dizer, como posso mostrar que a variação é finita? (Eu tenho que olhar para a variação de ? Porque eu não acho que seja finito ...)$Y_j$

2) Como posso mostrar que a média de todos os percentis da amostra computados converge para o valor real do percentil ? (Eu devo usar estatísticas de pedidos, mas não tenho certeza de como proceder; as referências são apreciadas.)$0.01-$$0.01-$

A variação de não é finita. $Y$ Isso é porque uma variável alfa-estável com α = 3 / 2 (uma distribuição Holtzmark ) tem uma expectativa finito μ mas a sua variância é infinita. Se Y tivesse uma variância finita σ 2 , explorando a independência do X i e a definição de variância, poderíamos calcular$X$$\alpha=3/2$$\mu$$Y$$\sigma^2$$X_i$

$$\eqalign{ \sigma^2 = \operatorname{Var}(Y) &= \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2 \\ &= \mathbb{E}(X_1^2X_2^2X_3^2) - \mathbb{E}(X_1X_2X_3)^2 \\ &= \mathbb{E}(X^2)^3 - \left(\mathbb{E}(X)^3\right)^2 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mathbb{E}(X)^2\right)^3 - \mu^6 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mu^2\right)^3 - \mu^6. }$$

Essa equação cúbica em tem pelo menos uma solução real (e até três soluções, mas não mais), o que implica que Var ( X ) seria finito - mas não é. Essa contradição comprova a afirmação.$\operatorname{Var}(X)$$\operatorname{Var}(X)$

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Vamos passar para a segunda pergunta.

Qualquer quantil de amostra converge para o quantil verdadeiro à medida que a amostra cresce. Os próximos parágrafos comprovam esse ponto geral.

Seja a probabilidade associada (ou qualquer outro valor entre 0 e 1 , exclusivo). Faça F para a função de distribuição, de modo a que Z q = F - 1 ( q ) é o q th quantil.$q=0.01$$0$$1$$F$$Z_q=F^{-1}(q)$$q^{\text{th}}$

Tudo o que precisamos assumir é que (a função quantil) é contínua. Isso nos assegura que para qualquer ϵ > 0 existem probabilidades q - < q e q + > q para as quais$F^{-1}$$\epsilon\gt 0$$q_-\lt q$$q_+\gt q$

$$F(Z_q - \epsilon) = q_-,\quad F(Z_q + \epsilon) = q_+,$$

e que como , o limite do intervalo [ q - , q + ] é { q } .$\epsilon\to 0$$[q_-, q_+]$$\{q\}$

Considere qualquer amostra iid do tamanho . O número de elementos deste exemplo que são menos do que Z q - tem um binomial ( q - , N ) de distribuição, porque cada elemento tem, independentemente, uma possibilidade q - de ser menos do que Z q - . O Teorema do Limite Central (o usual!) Implica que, para n suficientemente grande , o número de elementos menor que Z q - é dado por uma distribuição Normal com média n q - e variação n q -$n$$Z_{q_-}$$(q_-, n)$$q_-$$Z_{q_-}$$n$$Z_{q_-}$$nq_-$ (para uma aproximação arbitrariamente boa). Seja o CDF da distribuição normal padrão Φ . A chance de que essa quantidade exceda n q é, portanto, arbitrariamente próxima de$nq_-(1-q_-)$$\Phi$$nq$

$$1-\Phi\left(\frac{nq - nq_-}{\sqrt{nq_-(1-q_-)}}\right) = 1-\Phi\left(\sqrt{n}\frac{q - q_-}{\sqrt{q_-(1-q_-)}}\right).$$

Como o argumento no lado direito é um múltiplo fixo de $\Phi$ , cresce arbitrariamente grande à medida quencresce. ComoΦé um CDF, seu valor se aproxima arbitrariamente próximo de1, mostrando que o valor limite dessa probabilidade é zero.$\sqrt{n}$$n$$\Phi$$1$

Em palavras: no limite, é quase certo que dos elementos da amostra não sejam menores que Z q - . Um argumento análogo prova que é quase certo que n q dos elementos da amostra não seja maior que Z q + . Juntos, isso implica que o quantil q de uma amostra suficientemente grande é extremamente provável que esteja entre Z q - ϵ e Z q + ϵ .$nq$$Z_{q_-}$$nq$$Z_{q_+}$$q$$Z_q-\epsilon$$Z_q+\epsilon$

$\epsilon$$1-\alpha$$n$$nq$$1-\alpha$$\epsilon$$Z_q$

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$q=0.50$

$q=0.01$$Y$$n=300$$Y$

library(stabledist)
n <- 3e2
q <- 0.01
n.sim <- 1e3

Y.q <- replicate(n.sim, {
  Y <- apply(matrix(rstable(3*n, 3/2, 0, 1, 1), nrow=3), 2, prod) - 1
  log(-quantile(Y, 0.01))
})
m <- median(-exp(Y.q))
hist(Y.q, freq=FALSE, 
     main=paste("Histogram of the", q, "quantile of Y for", n.sim, "iterations" ),
     xlab="Log(-Y_q)",
     sub=paste("Median is", signif(m, 4), 
               "Negative log is", signif(log(-m), 4)),
     cex.sub=0.8)
abline(v=log(-m), col="Red", lwd=2)